MODELISATION DU VOL CIRCULAIRE ASCENDANT

RÉEL D'UN "KITE" ou CERF-VOLANT

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| Résultat de Wellicome | Géométrie du huit |Vol en huit | Force de traction | Puissance à montée constante | Puissance optimisée |

Les pratiquants de Kite Surf utilisent couramment des manœuvres où le kite décrit des arcs de cercle ou de quasi cercle pour augmenter la puissance de traction. Ils remarquent aussi que le cerf-volant prend de la vitesse et donc crée son propre vent relatif qui peut être plus grand que le vent réel !!!. La commande ne coûte pratiquement rien en énergie fournie par les muscles du sportif, par contre l'énergie que transmet le kite au surfeur est beaucoup plus importante.

C'est partant de cette idée que nombre de projets futuristes actuels cherchent à développer cette technique de vol cyclique en huit, pour utiliser le cerf-volant soit en traction de navires marchands ou autres soit et c'est pour demain, produire de l'énergie électrique, en laissant le cerf-volant monter sur des 8 ascendants avec le câble qui entraîne un tambour actionnant lui-même un générateur électrique.

Ce qui m'a amené à cette étude, c'est au départ celle des éoliennes volantes dont la panoplie inclue notamment des idées visionnaires de norias de "kites" ( Voir le site Kite Gen ). Ensuite, déjà en fonctionnement, la traction de navires marchands par cerf-volant de 100 à 300 m², pour l'instant utilisée en statique et pouvant produire des tractions de plusieurs tonnes ( voir Sky Sails  et étude personnelle ).

Plusieurs études antérieures m'ont apportées soit le point de départ pour un essai de mise au point des calculs, soit un résultat sans démonstration accessible que j'ai voulu retrouver. Donc loin de moi, l'idée de vouloir faire croire que je découvre quelque idée nouvelle. C'est simplement une occasion, pour moi, de continuer à exercer mon métier d'enseignant en mécanique et d'y trouver la satisfaction de transmettre ce que j'espère avoir compris. Par contre, à part le résultat de Wellicome, dans la partie I, résultat existant que j'ai cherché à retrouver, le reste des calculs m'est strictement personnel et jusqu'à preuve du contraire je n'en ai pas rencontré de semblables sur le Web.

Précisons que les calculs qui suivent supposent le cerf-volant suffisamment léger pour que sa masse puisse être considérée comme nulle. C'est certes une approximation, mais très proche de la réalité, qui permet d'établir en I un résultat tout à fait étonnant sur le comportement du kite.

I RESULTAT ESSENTIEL : ( Voir site Wellicome 1984 )

1°) Données :

Un cerf-volant est en mouvement avec le point d'attache sur une sphère :

- Longueur de câble L, force de traction F suivant la verticale Z

- Dans un vent réel de vitesse V horizontale par convention et simplification des calculs suivant Xa

- Vitesse propre du mouvement V_kite, suivant l'unitaire U tangent à la trajectoire

- Finesse instantanée  f = Cz/Cx = 1/tg(e)=cotg(e),  portance Rz et traînée Rx

2°) Figure et notations :

La position du kite est fixée par sa longitude q et sa latitude ( ou ascension droite ou élévation ) y.

Le kite de trajectoire bleue a une vitesse absolue v = V_kite  d'unitaire U, la vitesse apparente est Va d'unitaire i. Nous savons que les forces aérodynamiques dépendent de la vitesse Va du kite par rapport à l'air, de l'incidence et du nombre de Reynolds. Cette dépendance apparaît dans les coefficients Cx et Cz de traînée et de portance, qui ne peuvent s'obtenir qu'en soufflerie ou par des calculs très complexes et approchés, tant l'aérodynamique est compliquée.

3°) Résultat fondamental du cas de kite de masse faible :

Étonnamment la démonstration ne requiert que peu de connaissances. En effet, avec une masse négligeable considérée nulle, le kite sans quantité d'accélération est soumis à des forces de résultante nulles, soit :

4°) Commentaires :

- Pour une même position, la vitesse apparente Va croît avec la finesse f, d'où l'intérêt de commander le vol à l'incidence donnant la finesse maximum

- Si on considère que le plan OXaZa est le plan de référence de position, plus on s'écarte de ce plan, plus la vitesse apparente décroît et donc aussi la traction. Résultat que l'on pouvait anticiper!!

- Plus le cerf-volant s'approche du zénith, plus la vitesse apparente décroît et donc également la force de traction. En pratique, pour éviter que la portance ne redresse trop le câble, il faut diminuer l'incidence ce qui peut dégrader le résultat.

5°) Conséquences sur l'utilisation du kite :

a) Domaine exploitable :

Il semble évident que l'usage rationnel du kite comme moyen de traction ( ou éventuellement d'énergie ) demande à être optimisé. Ce qui équivaut à dire que l'on doit voler dans un domaine où le vent apparent créé est, si possible, plus grand que le vent réel. Donc, en plus de Va bien évidemment positive, il faudrait Va > V. 

Le kite a pour coordonnées x, y , z et le domaine D est caractérisé par la relation 

Sur la figure suivante le domaine D ( en bleu ) apparaît clairement comme une fenêtre délimitée par un plan normal au vent, et une coque sphérique vers l'avant.  

NB : Ce domaine est plus petit que la zone de vol possible du kite.

b) Existence et calcul de la vitesse du kite?

Il faut reprendre l'expression de Va. Rappelons que le vecteur U est dans le sens du mouvement et donc v > 0

L'étude n'a de sens que si l'on sait calculer la vitesse du kite qui permettra d'obtenir Va, au point ( y, q ) où se trouve le kite

en posant

il vient

Dans le domaine de vol optimal D ( où l > 1 ) l'équation ci-dessus a toujours des racines dont une seule K est positive, donnant

c) Conséquences intéressantes?

- Avec une finesse élevée ( f >7 ) et pour des manœuvres s'écartant peu de l'axe du vent ( y  < 15° et q voisin de 45° ), le produit scalaire | Xa.U | < 0.26.  

Comme l > 5, la vitesse du kite pourrait atteindre 4V

- Le calcul de la force de traction F = Ra donne ( Voir Note de calcul )

Remarque pratique : Cette relation montre qu'à caractéristiques aérodynamiques et vitesse de vent fixées, la force de traction est proportionnelle à Xkite = Lcosy cosq qui est l'abscisse courante du kite. On a donc tout intérêt à utiliser le kite aussi loin que possible du zénith, c'est à dire couché au maximum vers le sol et aussi près que possible de l'axe du vent. Il faut donc réduire au maximum ( en tenant compte des contraintes de pilotage ) l'angle b . L'idéal serait de naviguer de long en large symétriquement, avec des virages très courts.

II VOL CIRCULAIRE : 

Le vol en huit a déjà été étudié, il pose bien évidemment des contraintes de pilotage plus sévères que le vol circulaire que nous allons présenter. Nous choisissons une trajectoire circulaire "voyant" le vent de manière symétrique ( vent soufflant dans le sens de Xa ). La longueur initiale du câble est toujours L et la sphère de base portant la trajectoire est donc de rayon L.

1°) Caractérisation du cercle de base :

Comme pour le huit, le repérage d'un point particulier ( le centre H du cercle ) est donné par l'angle d. la dimension du cercle est fixée par l'angle 2a sous lequel on voit de O la corde AB.

2°) Repérage du Kite sur le cercle ( a j ) :

Le rayon du cercle est R = L sina . Le Kite M est repéré sur sa trajectoire par un seul angle j, donnant une abscisse curviligne s = Rj, mesurée depuis A.

Z et U désigneront les unitaires radial et tangent dans le sens du mouvement.

3°) Repérage du Kite dans le repère Ra ( a j d R ) :

Si le déplacement vertical du kite est autorisé, nous appelons R(t) le rayon vecteur mesuré depuis O sur l'axe vertical Z

Le lecteur, maintenant habitué aux calculs de position du Kite établira les relations suivantes où le vecteur R est son rayon vecteur

Allures de la trajectoire : Une vue 3D et une projection sur le plan (X Y ), pour un cycle de 10 spirales durant 16 secondes.

Le point le plus près du sol est à H min = L*sin(d-a) = 21 m. Sécurité oblige, on pourrait démarrer avec un câble plus long.

4°) Recherche de la vitesse de montée fixe optimale :

L'exécution du programme V2Cherch.m donne le graphe suivant et donc V2optimale=1.2 m/s pour les données prises ci-dessus ( pas forcément les meilleures! )

La moyenne de vitesse de montée variable optimisée est de 1.124 m/s très proche de la précédente. La comparaison des énergies produites, donne sur 60 secondes une moyenne de 829 Watts en optimisé et 823 Watts en vitesse de montée fixe, donc un écart très faible.

Nous retiendrons 830 Watts   

5°) Vitesses associées au kite :

En montée à vitesse fixe, la vitesse apparente varie de 8 à 18.5 m/s, toujours supérieure à la vitesse du vent.

La vitesse absolue du kite oscille entre 20 34.5 m/s ce qui est relativement important

5°) Influence de la dimension du cercle et de sa position ( a, d )? :

Ci-dessous les résultats pour une montée optimisée. Par sécurité par rapport  au sol on supposera que d >= a + 5°

La durée d'une spirale est indiquée en rouge allant de 0.8 s à 2 s

Conclusion : 

La trajectoire circulaire autorise une puissance aussi forte que la trajectoire en huit. Par contre le huit doit demander un pilotage certainement beaucoup plus complexe et réactif que celui du cercle.

Un choix raisonnable, sur une durée acceptable, avec une puissance moyenne de 2500 W semble se situer vers a = 20°, d = 30 ° 

Le kite est très rapide entre 30 et 48 m/s, vitesse énorme devant celle du vent de 6 m/s

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