MODÉLISATION MÉCANIQUE DU VOL CIRCULAIRE

A LONGUEUR DE CÂBLE FIXÉE

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Le modèle de vol d'un kite de masse nulle ( étonnamment efficace ) a permis, à partir d'une trajectoire prédéfinie ( huit ou cercle ...) , grâce aux calculs de Wellicome, d'obtenir, avec la seule connaissance de la position et une vitesse de montée bien choisie, les éléments essentiels de vol d'un kite, dans un vent horizontal  de vitesse donnée( supposée suivant Xa ).

* Vitesse du kite Vk

* Vitesse apparente du vent Va

* Force de traction T, puissance instantanée P et possible énergie disponible E

Se pose alors la question : Peut-on retrouver et programmer un pilotage d'un kite réel et massique, qui permettrait de parcourir cette trajectoire dans les mêmes conditions de vol  que celui à masse nulle, en satisfaisant les possibilités aérodynamiques du kite? 

C'est l'objet des calculs qui suivent, pour un kite massique, en mouvement sur un cercle fixe tracé sur une sphère de rayon L

 I FORMULATION LOGIQUE DU PROBLÈME :

La figure illustre la géométrie du vol et ses éléments importants :

- Vk la vitesse absolue du kite dans XaYaZa

- Va la vitesse apparente, vue du kite, qui génère la force aérodynamique Ra ( composantes Rx traînée et Rz portance ) et donc ensuite la tension T 

La logique va consister à retrouver une configuration de vol, accessible au kite, qui génère sensiblement la même tension compte tenu le la masse du kite qui introduit la pesanteur en sus des autres forces. Ce n'est plus de la cinématique, mais de la dynamique.

Tout repose sur la relation fondamentale de la dynamique, la tension T est maintenant reliée à Ra et à l'accélération du kite. 

Remarque capitale :  D'après le principe de relativité de Galilée - Einstein , un accéléromètre 3 axes lié au kite, n'est capable de mesurer que l'accélération crée par les forces autres que celles de gravitation ( pour le poids ) donc :

Ce sera donc probablement un capteur indispensable à bord du kite, pour gérer le pilotage. 

La variable d'ajustement sera la norme de Ra . Elle déterminera la valeur de T grâce à la décomposition classique de la force F (connue) sur les unitaires de T de direction connue et de Ra.:

Les qualités aérodynamiques du kite doivent permettre la réalisation de Ra, compte tenu des contraintes de pilotage ( mise en oeuvre, temps de réponse ... ), et surtout de la plus grande valeur possible de T, lorsque le kite est destiné à produire de l'énergie.

NB : il faut s'attendre en moyenne à une petite perte de puissance due à la présence de la pesanteur.

 II MISE EN OEUVRE DE LA LOGIQUE PRÉCÉDENTE ( Cas simple à longueur de câble constante ) :

NB : Il est clair que si la méthode fonctionne pour une trajectoire, elle le fera pour tout type de plan de vol.

Le cas le plus simple pour prendre en main et vérifier les calculs est donc la trajectoire circulaire, à vitesse de montée V2 nulle, puisque pour un cercle l'accélération est facile à calculer. Nous prenons le cas :

1°) Expression vectorielle de l'accélération :

Dans un mouvement circulaire, l'accélération absolue comporte 2 termes, une accélération centripète Gn =V_K²/R et une accélération tangentielle Gt = dV_K/dt

Donnons les relations à programmer dans une simulation :

2°) Calcul de l'accélération :

Nous récupérons, dans une simulation précédente,  l'accélération, par ses 2 composantes tangentielle et normale.

NB : les simulations se faisant avec le paramètre de position  s, Matlab considère dans ces simulations la variable abscisse curviligne s comme le temps de la simulation( ce qui n'est pas le temps du mouvement ), lorsque on utilise soit une intégration, soit une dérivation, donc il nous faut adapter les opérateurs, intégration et dérivation, par

Voici le résultat pour le vol masse nulle. On constatera le niveau à 12 g du même style que les avions de chasse ou de voltige

3°) Recherche de la configuration de vol :

La figure ci-dessous donne l'illustration géométrique des forces en jeu, Ra est supposée respecter des capacités aérodynamiques du kite.

f est la finesse du kite, pour la configuration de vol à valider. C'est la seule variable de ces calculs, toutes les autres quantités, y compris Va, ne dépendent que de la trajectoire.

Posons, avec des notations évidentes quelques quantités calculables en tout point de la trajectoire et utiles pour alléger les écritures d'équations. En effet dès que la trajectoire est choisie, la position est connue en fonction de s ou de t, permettant le calcul des vecteurs :

- Z comme unitaire du rayon vecteur de la position

- V_k la vitesse du kite, et donc la vitesse apparente Va donnée ci-dessous pour le cas général, mais pour nous ce sera V2=0 )

- G l'accélération absolue accessible par double dérivation de la position vectorielle

Essayons de calculer la valeur de Cx qui satisfait à la géométrie du moment.

Tout d'abord, nous appelons T la tension dans le câble et calculons Ra , puisque F se décompose en T et Ra ( le lecteur fera les calculs )

On ne s'attend pas à priori, à trouver 2 équations relativement simples donnant Cx ou T. Éliminant Cx entre les 2 équations, il vient l'équation du second degré reliant T et f et donc ensuite T et Cx. Naturellement si une solution existe elle doit satisfaire les conditions : T > 0  Cx >  0

On peut aussi formuler la relation autrement et calculer 1+f² en fonction de T

NB 0: Les calculs de 1+f² et Cx sont possibles, en effet :

NB1 :  Ceci qui n'entraîne pas nécessairement que f existe ( il faut f² >0 ), ni qu'une configuration de vol acceptable existe avec f et Cx calculés.

NB2 : Par ailleurs, on est sûr que pour T assez grand, l'expression de 1+f² tend vers 1/b² > 1  donc pour T assez grand la finesse f est calculable. Cependant même si Cx existe positif, sa valeur n'est pas nécessairement celle d'un cerf-volant réel.

On peut encore traduire (4) par une relation qui peut se révéler utile plus loin, en introduisant un coefficient aérodynamique total C_T.

Il revient au même de traduire que le choix de T détermine celui de Ra, Rx, et f et donc celui de f et Cx ou encore celui de Cz et Cx.

L'équation (7) permet le calcul de e en fonction de T, examinons comment varie la fonction de T. Le calcul de la dérivée donne que son signe est celui de la fonction :

 III MÉTHODE 1, POUR TROUVER UNE CONFIGURATION INSTANTANÉE DE VOL :

Le problème est complexe. En effet, pour une trajectoire choisie, à chaque position repérée soit par l'abscisse curviligne, soit par le temps, la vitesse apparente Va du vent est différente et fournit un nombre de Reynolds spécifique qui permet d'exploiter la polaire du kite associée à ce nombre. Cette polaire a l'allure ci-dessous:

. 

NB : Les polaires ( suivant Reynolds ), graduées en incidence sont supposées connues.

1°) Évolution des caractéristiques f, Cx, e du kite en fonction de T :

a) Conditions de calcul :

Dans cette partie sont fixées ou calculées:

- L'altitude L de départ du vol.

- La trajectoire circulaire par ses paramètres a et d

- La force F connaissant la masse M du kite, obtenue par dérivation

b) Simulation Matlab dédiée à cette étude :

Pour ne pas surcharger la simulation initiale, une nouvelle simulation .../@kitreel/cfg_vol1.m permet de vérifier nos calculs ou simulations antérieures.

Nous récupérons seulement les éléments utiles en axes absolus, pour chaque cas de vol stockés dans dynamic.mat suite à l'exécution de la simulation  .../@kitmeca/kitmeca3.m  -->   Retrouver les fichiers

* La variable temps1 de la simulation précédente

* accelera.m la fonction qui donne l'accélération en fonction du temps.

* vit_abs.m la fonction vitesse absolue, fonction du temps.

* pos_abs.m la fonction position en axes absolus, fonction du temps.

Ainsi :

- La double intégration de l'accélération redonne bien vitesse et position

- La dérivation de la vitesse ou la double dérivation de la position redonnent bien l'accélération et au passage la vitesse. Seuls des petits problèmes de sauts en début ou fin des calculs peuvent survenir sans mettre en péril les résultats.

- Enfin le calcul des tensions est effectué par 2 méthodes qui sont donc comparées.

Voir le vol réel circulaire avec un kite massique

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Remarque: pour le cas général où V2 n'est plus  nulle : 

On peut montrer que b > 0 pour un choix convenable de V2 . En effet:

Compléments sur les polaires voir --> http://www.lavionnaire.fr/AerodynPolaires.php