VOL RÉEL D'UN "KITE"

SUR TRAJECTOIRE CIRCULAIRE IMPOSÉE 

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NB : Cette page complète le cas particulier d'un vol circulaire à longueur de câble fixée. La longueur du câble est maintenant autorisée à varier, dans le but de produire de l'énergie.

Le modèle de vol d'un kite de masse nulle ( étonnamment efficace ) a permis, à partir d'une trajectoire prédéfinie ( huit ou cercle ...) , et grâce aux calculs de Wellicome, de  préciser les éléments essentiels du vol d'un kite non massique, dans un vent horizontal  de vitesse donnée V, moyennant la seule connaissance de la position et une vitesse de montée bien choisie et d'une configuration de vol prédéterminée ( Cx et finesse ):

* Vitesse du kite Vk

* Vitesse apparente du vent Va, créant la force aérodynamique Ra

* Force de traction T, puissance instantanée P et possible énergie disponible E

Se pose alors la question ? Peut-on élaborer et programmer un pilotage qui permettrait de parcourir cette trajectoire, avec un kite réel de masse M ,  dans les mêmes conditions de vol, c'est à dire même trajectoire, même vitesse et même accélération, en respectant les capacités aérodynamiques du kite? C'est l'objet des calculs qui suivent.

NB : En pratique, cette procédure n'est pas classique, qui consiste à rechercher les forces qui vont donner une trajectoire prédéterminée. On conçoit donc très bien qu'il y aura des conditions à respecter ( notamment le domaine de vol ) et que l'existence d'une solution n'est pas assurée d'avance.

I CONDITIONS ET PRÉPARATION DES CALCULS :

Le kite cerf-volant est sur une trajectoire (C) dont la projection sur la sphère de base de rayon L est une courbe (C₀). Au départ C et C₀ pourraient être quelconques, mais les études  précédentes ont privilégié, au moins dans l'immédiat, soit une figure en huit successifs ascendants, soit une en spirale ascendante sur une courbe de base circulaire.

1°) Les données et les variables :

L est la longueur de base du câble. Sur l'axe Z, la longueur D ou R( rayon vecteur ) du câble pourra évoluer suivant le choix du type de montée, soit à vitesse constante V2, soit à vitesse variable optimisée V2(t). Dans tous les cas on aura:

On notera, comme depuis le début de ces recherches : 

- M la masse du kite, S sa surface de référence aérodynamique, Cx et Cz les coefficients aérodynamiques, fonctions de nombreux facteurs, f la finesse, e l' angle de finesse avec f = cotge 

- V la vitesse du vent, supposée suivant Xa horizontal, Vk la vitesse absolue du kite suivant l'unitaire U, Va la vitesse apparente du vent suivant l'unitaire i, Z  l'unitaire du vecteur joignant l'origine O au kite K.

- s désignera l'abscisse curviligne sur la projection (C₀),  s est une variable plus naturelle que le temps, pour décrire la courbe, vu que le mouvement n'est pas encore déterminé. s sera donc notre variable de base ( avec laquelle, on devra notamment adapter les calculs de dérivation temporelle ). Rappelons que C0 désigne la projection "conique" de la trajectoire réelle, sur la sphère de rayon L ( longueur initiale du câble )

2°) Éléments dynamiques ( Vitesse, accélération, forces en jeu ):

a) Expression la plus générale de la vitesse V_Ket de l'accélération G du kite

b) Calcul de l'accélération :

R(t) ou D(t) désignent le rayon vecteur au point courant.

 Vérifiez alors les calculs pour V2 quelconque en privilégiant la figure ci-dessous, qui rappelle les axes U N Z et V.

Les composantes de l'accélération sur U N Z ( attention base non orthogonale !! )sont pour le cas général où V2 peut être quelconque:

3°) Comment se pose le problème?:

La trajectoire est imposée ( pour nous ici un cercle à montée spiralée ) et nous devons retrouver les forces qui pourraient conduire à cette trajectoire, tout en respectant les capacités de vol du kite. C'est à priori un problème difficile qui n'a pas forcément de solution, il se pourrait aussi qu'il y ait une solution à choisir dans un panel possible.

Bien évidemment c'est la loi fondamentale de la mécanique du point  qu'il faut satisfaire ( comme déjà exprimée dans une autre page )

:

Dans cette relation 2 forces sont inconnues T ( tension du câble ) et Ra ( résultante aérodynamique ), mais la connaissance de l'une détermine celle de l'autre. La force T présente l'avantage d'avoir une direction connue, puisqu'en sens contraire de l'axe unitaire Z. Cependant la force aérodynamique Ra doit être réalisable par un pilotage adéquat. C'est elle que nous privilégions. 

Faisons une figure simple ne montrant que les forces ( Voir une figure plus complète )

Remarque : 

Rappelons,  au passage, ce qu'est la mesure accélérométrique F dans un véhicule quel qu'il soit : C'est l'accélération créée par toutes les forces autres que la gravitation ( ou le poids sur Terre ). Cette mesure pourrait être fournie par un boîtier accélérométrique, aujourd'hui d'un usage courant.

C'est donc:

La connaissance de la mesure accélérométrique est indispensable, ainsi que celle de la vitesse apparente Va ( qui pourrait s'obtenir avec un tube Pitot ou système équivalent équivalent ) 

II EXISTENCE ET DÉTERMINATION DU VOL :

1°) Portance minimale?

Une solution aérodynamique réelle n'est possible que si l'on peut trouver une force Ra et simultanément une force F satisfaisant au principe fondamental de la dynamique:

 * avec Ra, en norme, supérieure à la longueur OH, sinon aucune tension T ne peut exister. Lorsque cette condition est satisfaite, une sphère de rayon Ra coupe la droite D en 2 points donnant toujours 2 solutions pour T, dont une au moins donnant toujours une tension de sens contraire à Z ,donc acceptable.

Dans tous les cas, même s'il y a 2 solutions acceptables, seule la solution la plus grande pour T est à conserver, puisque dans les calculs de puissance c'est celle qui donnera, la plus grande puissance.

et

* permettant de calculer une orientation et une incidence du kite, créant cette force Ra avec des coefficients Cx et Cz calculables en respectant la polaire du kite pour le nombre de Reynolds associé.

Le lecteur établira, compte tenu de ce que T doit toujours être dirigée vers le bas ( Vol sur le dos!!! impossible avec un kite souple ) que :

On peut aussi écrire cette quantité sous une autre forme, avec la masse M, F norme de la mesure accélérométrique et l'angle j entre Ra et l'axe Z

NB : la connaissance indispensable de (Ra)_min nécessite celle de la direction Z. Il faut donc adjoindre un dispositif de mesure de l'attitude du kite ou alors réaliser une double intégration en continu, de la mesure accélérométrique. Un peu comme une mini centrale inertielle !!! adaptée à ce besoin

2°) Première condition d'existence?

Pour résumer, un vol réel doit déjà vérifier ( pour que T existe avec choix de la plus grande solution )

permettant de conclure sur les capacités aérodynamiques du kite résumées ci-dessous, pour le cas le plus général.

NB : Ci dessous, en couleur bleue, une allure probable de polaire de kite ( en attente de source plus fiable et précise )

3°) Deuxième CNS d'existence?

L'équation (2) a le mérite de faire apparaître directement que le point de vol M ( s'il existe ) doit se situer sur la polaire entre les 2 points limites, N pour la portance minimale et D pour la limite de décrochage. Seule la partie bleue en trait plein est utilisable. L'existence de cette partie utile implique notamment que Rmin < Rmax sinon tout vol est impossible et l'étude s'arrête là. 

Ce qui signifie que:

* sur toute la trajectoire prédéterminée choisie à l'avance

* quelle que la position sur cette trajectoire

* pour un kite de masse M, de surface alaire S, de coefficients limites de décrochage C_x^D  et  C _z^D 

la condition (3) doit être satisfaite, pour assurer l'existence d'un domaine de vol.

4°) Solution de pilotage possible :

Rappelons que le choix de T détermine celui de Ra et du coefficient C_T grâce aux relations déjà établies

La figure montre un point de vol M possible à l'intersection de la polaire et du cercle de rayon R_polaire ou encore de rayon C_T . Il est à noter que ce choix n'est pas unique, chaque valeur de T ( T1 T2 T3 ...) conduisant à une possibilité. Restera donc à donner le bon critère pour ce choix ( puissance maximum, sécurité par rapport au décrochage, vitesse du vent ...)

Pour un choix de T et donc de Ra, les valeurs de Cx et Cz sont alors connues ainsi que l'incidence conduisant à ces valeurs.

5°) Données pour un kite :

Valeurs en provenance de : " Estimation of the Lift-to-Drag Ratio Using the Lifting Line Method: Application to a Leading Edge Inflatable Kite Richard Leloup, Kostia Roncin, Guilhem Bles, Jean-Baptiste Leroux, Christian Jochum, Yves Parlier

Pour les besoins de mes simulations, j'ai recueilli les valeurs sur leurs graphiques et transformé ceux-ci en tables utilisables. Pour le coefficient de portance, le document estime que le résultat linéaire pour Cz est une bonne approche, nous la gardons.

Donc, pour la suite nous considérerons que la polaire du kite est connue, ce sera celle-ci à défaut d'en avoir d'autres.

III ASPECT ÉNERGÉTIQUE :

1°) Puissance mécanique théorique?

La tension T du câble est utilisée, grâce à la montée du kite à une vitesse V2 bien choisie, pour produire une puissance théorique P et une énergie E.

2°) Coefficient de sécurité par rapport au décrochage ?

 a) Retour sur le calcul de Va ?

La vitesse apparente a déjà été calculée dans les conditions les plus générales, cependant, nous ne sommes plus dans l'approximation de Wellicome où la masse du kite est supposée nulle. Nous devons donc calculer la vitesse apparente tout naturellement comme une vitesse relative, celle du kite s'obtenant :

* soit par dérivation de la position du kite

* soit par intégration de l'accélération du kite, en traduisant une condition initiale sur la vitesse:

La dérivation devrait poser moins de problème, puisqu'elle n'a pas besoin de conditions initiales

b) Sécurité 

Il est normal de prévoir, par sécurité, que le point de vol ne puisse pas être D. Donc on adopte un coefficient de sécurité Ks < 1 qui affecte (Ra)_max ou encore C_T.

La figure ci-dessus montre que le coefficient total maximum se calcule au point D de décrochage, donc la valeur limite haute de la force aérodynamique Ra est d'après la relation (8)

Nous permettant de choisir la valeur suivante de (R_a )_max avec la sécurité Ks

Nous terminons le calcul, par celui de T_max, en résolvant par exemple une équation du second degré déduite de l'équation ci-dessus ou d'une relation scalaire dans le triangle Ra, MF, T avec l'angle Y.

Nous rappelons que c'est la solution la plus grande qu'il faut retenir, pour une puissance maximum.

Une racine doit nécessairement exister et pour ce faire le discriminant réduit devrait être positif, il l'est d'après une remarque antérieure, ce que nous confirmons

3°) Puissance mécanique théorique?

Comme indiqué en 1°) on a:

IV LA FORCE AÉRODYNAMIQUE A PRODUIRE :

Il est clair que la force Ra à réaliser par un pilotage programmé est 

V QUELQUES COURBES POUR FIXER LES IDÉES :

Simulation Matlab : kitmeca3.m , Retrouver les fichiers en téléchargement

Tracés limités au premier tour :

.

VI RECONSTRUCTION D'UNE TRAJECTOIRE RÉELLE :

Il s'agit de déterminer un pilotage convenable d'un kite massif conduisant à la même trajectoire que celle du kite supposé sans masse, moyennant les mêmes caractéristiques aérodynamiques. Parmi toutes les possibilités, le choix portera sur celle produisant l'énergie maximale sur le cycle de vol en N spirales ascendantes.

1°) Conditions de calcul :

Dans cette partie sont fixées ou données :

- L'altitude L de départ du vol ( 100 m pour fixer les idées  ).

- La trajectoire de projection circulaire définie par ses paramètres a ( 30° ) et d ( 20° ) 

- La masse M du kite ( Choisie avec sensiblement 2 kg/m² de voilure ) soit 10 kg

- Ses polaires, si nécessaire fournies avec le nombre de Reynolds les concernant.

2°) Simulation Matlab à la base de l'étude :

Nous récupérons les éléments utiles en axes absolus, suite à l'exécution de .../@kitmeca/kitmeca3.m, pour chaque cas de vol. Ces données sont sauvées dans dynamic.mat à des fins d'exploitation par une autre simulation:

* La variable temps1 de la simulation précédente

* accelera.m la fonction qui donne l'accélération en fonction du temps, par ses composantes dans la base fixe XaYaZa.

* vit_abs.m la fonction vitesse absolue, fonction du temps, par ses composantes dans la base fixe XaYaZa..

* pos_abs.m la fonction position en axes absolus, fonction du temps, par ses composantes dans la base fixe XaYaZa. C'est le rayon vecteur vectoriel.

3°) Domaine de la polaire accessible au vol :

La force F ( ou l'accélération spécifique F ) se calcule connaissant l'accélération et la masse M du kite.

La vitesse Va s'obtient grâce à la vitesse du vent et celle du kite, entraînant la connaissance du vecteur i.

Les quantités a, b, c, d ( voir leur définition dans une page précédente ) sont donc calculables, ce qui permet l'exploitation des relations (4) 

3°) NOUVELLE SIMULATION  :

Pour ne pas surcharger la simulation initiale, une nouvelle simulation .../@kitreel/cfg_vol1.m a pour but :

- De vérifier que position, vitesse et accélération sont bien des résultats homogènes, c'est à dire qu'ils se recoupent, soit par dérivation soit par intégration pour peu que les conditions initiales soient correctement choisies.

Position initiale absolue Ro = [98.4807 0 17.3647]'  ce qui donne L = 100 m

Vitesse initiale V_Ko = [1.6052 45.2504 0.2830]'   comprenant la vitesse initiale parallèle à Y et la vitesse de montée V2 = 1.63 m/s suivant le rayon vecteur

a) Coefficient total minimum :

Il s'agit de calculer Rmin défini en (2) le long de la trajectoire. Pour ce faire, je construis la fonction y=Rmin(s) de l'abscisse curviligne s ou du temps t.

b) Résultante aérodynamique minimale :

..../@kitmeca/accelfix.m calcule les composantes vectorielles absolues de l'accélération spécifique F = G- g puis de F = M( G- g ) sur les axes fixes

..../@kitmeca/Ra_min.m calcule la force aérodynamique minimale à générer pour qu'un mouvement circulaire hélicoïdal existe ( pas nécessairement très énergétique ) connaissant la force spécifique F ou la mesure accélérométrique F.

4°) ÉQUATIONS DU MOUVEMENT RECONSTRUIT:

Les coordonnées sphériques semblent plus particulièrement adaptées au problème, car la tension T dans le câble est inconnue, puisqu'elle résulte d'un asservissement qui impose une montée du kite, à vitesse constante ou encore un déroulement du câble à vitesse uniforme . Je les utilise dans le cadre de la mécanique lagrangienne ou de la loi fondamentale appliquée au kite ( en oubliant pour l'instant les énergies de rotation dans le mouvement autour du centre d'inertie).

NB1 : Un essai de mise en équation par projection sur les axes Xa Ya Za du repère fixe, ne permet pas de traiter le problème, sans retour aux axes des coordonnées sphériques, car la tension est colinéaire à Z et "pollue" les 3 équations scalaires. 

NB2 : Au lieu de la colatitude , j'utilise la latitude q. 

La matrice P de passage du repère fixe Xa Ya Za au repère mobile des coordonnées sphériques Z V W est classiquement:

y ( longitude ) se mesure autour de l'axe Za et q ( latitude ) autour de l'axe -V

Les composantes d'une force F se transforment dans les 2 repères par :

Les composantes de l'accélération, pour ces coordonnées sphériques particulières, sont obtenues en exploitant le travail virtuel de la quantité d'accélération, le déplacement virtuel associé et l'énergie cinétique T , calculs classiques de mécanique lagrangienne ou des classes préparatoires:

Nous obtenons ainsi, dans le cas le plus général, les équations du mouvement, en projection sur les axes ZVW, avec les forces : poids, tension et force aérodynamique

a) Coefficients du travail virtuel des forces ( autres que la pesanteur ), pour le problème spécifique du kite : 

b) Équations de Lagrange ou loi fondamentale dans le cas du kite : 

Avec la fonction de Lagrange ( incluant la pesanteur )

Le lecteur les établira ou les retrouvera en traduisant la loi fondamentale en projection sur les axes ZVW.

NB : l'écriture de ces équations est validées par une simulation d'un mouvement képlérien ( bien sûr sans rapport avec le kite, on ne garde que le poids remplacé par la gravitation). Voir en annexe 1

Pour ce qui nous concerne, la production d'énergie nous a incité à adopter par exemple une montée du kite à vitesse V2 constante. Au système d'équations, il faut donc ajouter la condition de montée du kite, à vitesse constante.

Ce faisant le paramètre r devant satisfaire à une relation de type non holonôme,  n'est plus une inconnue, ou alors il faut adapter la mise en équations avec un multiplicateur de Lagrange inconnu au départ. 

L'équation (L1) doit donc être sortie de l'intégration et ne servir qu'à calculer la tension inconnue T qui nous gênait, une fois l'intégration achevée ou en parallèle avec l'intégration, mais sans la perturber? 

Remarque: on retrouve d'ailleurs, et c'est naturel, pour l' expression de T, la projection de la loi fondamentale sur Z avec la partie forces ( Ra et Mg ) et les composantes centrifuges de l'accélération, sur l'unitaire Z.

c) ÉQUATIONS CONSERVÉES ET CONCLUSIONS: 

Les équations (E7) et (E8) fournissent les angles q et y, tandis que (E6) donne la tension T, puis plus tard la puissance théorique.

Remarque : rien ne s'oppose à ce que la vitesse de montée soit contrôlée par une électronique adéquate, capable d'optimiser la puissance à chaque instant, l'équation complémentaire (E9) devient alors :

d) Reconstruction de la trajectoire et écriture canonique du système :

En définissant un vecteur Y de dimension 4 donnant q et y, et les dérivées, il est aisé de montrer que Y vérifie une équation différentielle d'ordre 1, d'écriture classique. Elle permet une intégration connaissant les conditions initiales, avec les algorithmes classiques des outils de simulation.

NB 1 : Le système ( S ), une fois l'intégration effectuée, suffit à déterminer la direction Z avec la seule connaissance de q et y. Le rayon vecteur, connu en fonction du temps, achève le positionnement du kite.

NB 2 : Les conditions initiales sur q et y sont données par les calculs de la théorie de Wellicome:

- Position absolue pos_abs(0)=[98.4808 0 17.3648] soit 10 m avec q = 10° et y = 0°

- Vitesse absolue vit_abs(0) = [1.6052 45.2504 0.2830] m/s, où encore 45.2504 m/s vers Ya et 1.63 m/s sur le rayon vecteur incliné d'une ascension droite q = 10° sur l'axe Xa.

Ce qui donne :  teta0 = 10*pi/180 rd  psi0 =0 rd  tetaprime0 = 0 rd/s  psiprime0 = 0.4595 rd/s en plus de r0 = 100 m et r'0 = 1.63 m/s

L'équation (L1 ou E6) permet de calculer la tension dans le câble connaissant Y après intégration et r fonction de L, V2 et t et normalement de retrouver la valeur calculée en parallèle ave Ra.

Pour ma mémoire personnelle :

1 - La fonction F en vecteur colonne est programmée sous ..../@kitereel/reconstr.m

2 - La fonction donnant la force aérodynamique fonction du temps est programmée sous ..../@kitereel/F_aerod.m  Elle utilise des résultats provenant de la simulation .../@kitmeca/kitmeca3.m qui ont permis de construire les fonctions accelera.m, vit_abs.m et pos_abs.m ( voir plus haut )

En sortie elle donne le vecteur colonne de la force aérodynamique Ra et la norme de la tension T du câble, valeurs qui fourniront la même accélération que accelera.m.

3 - La fonction G  donnant la tension est programmée sous ..../@kitereel/tension.m

     4 - La fonction puissance instantanée est programmée sous ..../@kitereel/puissanc.m

2°) Simulation du calcul des angles :

Les angles de l'attitude du kite sont évalués avec la simulation ..../@kitereel/Vol_Reel.m  toujours initialisée par ..../@kitereel/Data_Kite.m .

NB: pour un vol où Ks est fixé inférieur ou égal à 1, l'incidence pilotée étant intimement lié à KS est calculée directement dans DataKite sous le nom de la variable globale  incidence_pilot, l'incidence est donc fixe. Elle est reprise en variable globale par la fonction attitude.m. Cette fonction calcule aussi en radian les angles de pilotage présentés plus loin, ces données sont stockées dans ..../@kitereel/pilotage.mat ( temps, beta, gamma, incidence_pilot)

- en sortie 1 : beta  équivalent roulis

- en sortie 2 : gamma  équivalent d'un lacet local

- en sortie 3 : incidence_pilot l'incidence au sens habituel du terme

La simulation montrera l'évolution de ces angles ces angles en degrés

Ci-dessous le cas de vol à sécurité KS = 0.5

Peut-être, plus loin, envisagerons nous des vols à incidence variable !!

VII ÉTUDE DE L'ATTITUDE DU KITE

Jusqu'à présent, nous n'avons étudié que la possibilité de créer un modèle de force aérodynamique. Il nous reste à préciser l'attitude du kite sur sa trajectoire. 

Rappel sur l'incidence de vol d'un aéronef : par convention on appelle incidence i, pour un avion l'angle entre la vitesse de l'avion par rapport à l'air et l'axe longitudinal du fuselage.

Pour un kite, nous dirons que c'est l'angle entre sa vitesse air ( opposé de la vitesse du vent apparent Vapp ) et la corde AB, ou encore entre les axes i et Xk, angle mesuré positivement autour de l'axe de tangage Yk.

1°) Repères et angles caractéristiques :

Il est clair que les 2 directions importantes sont :

- la direction unitaire Z qui donne la direction  du câble et donc la position sur trajectoire, c'est la direction du câble qui maintient les suspentes de vol et le kite.

- la direction unitaire i  de la vitesse apparente Vapp supposée connue, une fois la vitesse du kite connue ainsi que celle du vent. L'angle  a partiellement assimilable à un tangage et mesuré autour de Y opérant le passage de R0 à R1.

a) Repère de base R₀ : 

Par convention au cours du vol, nous supposons toujours que le bord d'attaque est normal à la vitesse apparente Va. Partant de Z et Va vecteurs connus, on pose 3 nouveaux vecteurs et un angle a ( connu si les vitesses sont connues )  mesuré autour de Y:

Le repère de référence initial est R0 = X Y Z. Sa position est connue en même temps que le mouvement du kite, donc connue en repère absolu, si nécessaire.

b) Repère trajectoire R_T : 

Ce sera U V* Z avec U suivant la tangente au cercle ( et de manière plus générale tangente à la projection de la trajectoire sur la sphère de rayon L ) et V qui complète la base directe. Ce repère est en rotation autour de Wa.

c) Repère  R_K attaché au kite

Soit donc X_K Y_K Z_K  avec :

-  X_K suivant la corde principale AB, du bord d'attaque vers le bord de fuite

- Y_K est la direction du bord d'attaque, vers la droite du kite en vol classique d'incidence positive

- Z_K complète la base, l'axe est donc vers l'extrados du kite.

Ci-dessous les notions classiques associés à l'aérodynamique du kite, traînée, portance, corde, bord d'attaque vent apparent.

d) Repères  intermédiaire pour passer de R0 à R_T

- R1 = ( i, Y,  h )   

- R2 = ( i, YK, j ) ou encore repère lié à l'aérodynamique 

Le passage entre repère est :

e) Les angles :

La position " neutre " ou de base du kite correspond à une incidence nulle avec le bord d'attaque normal au plan (Z, Vapp ) ou encore au plan ( Z, i )

Par convention au cours du vol, nous supposons toujours que le bord d'attaque est normal à la vitesse apparente Va. Partant de Z et Va vecteurs connus, on pose 3 nouveaux vecteurs:

Ce qui permet de définir les changements de repère ou des angles avec :

L'angle  a partiellement assimilable à un tangage, mesuré autour de Y opérant le passage de R0 à R1. De toute évidence, le déplacement du kite se fera à  cos(a) >0. 

L'angle  b assimilable à un roulis, mesuré autour de i, opérant le passage de R1 à R2. 

L'angle  i assimilable au tangage, mesuré autour de Y_K, opérant le passage de R2 à R_K. 

L'angle  g entre X et -U ( opposé de la vitesse principale du kite ) participant au lacet, mesuré autour de Z. Cet angle, qui doit être le plus souvent assez proche de 0, est un des paramètres du pilotage au même titre que b ou l'incidence i que l'on peut supposer éventuellement variable.

Le bon choix des angles du pilotage reste une question ouverte !!!!

La donnée essentielle est la force aérodynamique Ra calculée et choisie. On rappelle qu'elle détermine la valeur de i et du coefficient aérodynamique total C_T.

NB : Le plan des vecteurs Ra et Va détermine le plan de symétrie (Xk,Zk) du kite

d) Calcul des paramètres de vol angulaires du kite :

Quantités connues : Position, vitesse absolue ( comprenant la vitesse V1 sur U et V2 de montée sur Z ), donc aussi la vitesse apparente Vapp,  le coefficient de sécurité Ks donc aussi l'incidence i et le coefficient total C_T choisi ( donc aussi les coefficients Cx et Cz ) et par suite  la force aérodynamique Ra, par ses composantes dans le repère fixe Xa Ya Za où tous les calculs sont effectués.

Calcul de  a : pour lever l'ambiguïté sur le signe de a , on teste

ce qui fournit ( en rappelant que y est la latitude ou élévation du kite et V2 sa vitesse ascensionnelle)

Calcul de  b et g:  les données de i, Ra, Z  déterminent tous les axes et fournissent donc ci-dessous b: 

Rotation autour de i

et l'angle de direction ( sorte de lacet ) g

Rotation autour de Z

Avec les angles i, a, b et g  l'attitude du kite est totalement connue, par rapport au repère trajectoire, lui même parfaitement précisé par la position du kite dans les axes absolus.

NB1 : L'angle b doit être enregistré et constitue le pilotage imposé, si tant est qu'il est réalisable !!

NB2 : L'angle g doit être enregistré , il servira de vérification pour la simulation. Dans la réalité, il fait partie intégrante du pilotage pour maintenir le bord d'attaque orthogonal à la vitesse apparente du vent.

2°) Validation du calcul des angles de vol, par une reconstruction de la trajectoire circulaire basée sur les angles programmés :

Les conditions initiales sont celles du vol initial circulaire idéal, le vent est toujours horizontal et suivant Xa premier axe du repère absolu :

Les données programmées sont pour ce cas particulier :

- Le coefficient de sécurité Ks ( ou l'incidence i ) ce qui définit le coefficient aérodynamique total ( ou encore Cx et Cz ) et l'incidence i constante si Ks est constant. Ra est donc connue en norme.

- La vitesse de montée choisie V2, suivant Z

- L'angle de pilotage  b  permet de calculer le vecteur force aérodynamique Ra et ses composantes en repère absolu :

De la connaissance de Ra on déduit ( par intégration des équations en coordonnées cylindriques) les angles Y et q  de la position  et leurs dérivées, 

L'intégration, compte tenu des conditions initiales fournit vitesse et position, "la boucle est donc bouclée" et la simulation peut s'exercer.  La trajectoire reconstituée en découle, en espérant qu'elle redonne aux erreurs d'arrondis près, la trajectoire circulaire souhaitée en projection conique sur la sphère de rayon L.

Comme vu plus haut, la tension se déduit en cours de calcul avec les valeurs  actualisées par l'intégration. La puissance instantanée est alors accessible par P = T V₂ .

La nouvelle simulation, dans un nouveau répertoire est ..../@kiteAuto/Vol_Prog.m.  Si la vérification est correcte, la méthode peut être généralisée à un vol sur trajectoire quelconque, avec programmation d'incidence choisie, variable ou pas.

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Reste à faire ? Pour mémoire !! Partie réservée à l'auteur

* Influence de alpha, delta

* Vol à tension constante

* Vol à inclinaison constante

* Peut-on programmer la trajectoire et l'évolution des vitesses à l'avance

* Simulations enchaînées 

* Influence temps de retard

* Influence bruit de fond

* Influence biais

Autre formulation de l'existence d'un pilotage possible :

V2 doit respecter des conditions déjà établies que nous rappelons ( pour les 2 cas à montée V2 fixe )

* Le premier n'imposant que Va > 0

* Le deuxième non obligatoire et plus restrictif imposant  Va > V ( vitesse du vent ), si cela est possible

4°) Quelques calculs numériques:

a) Évaluation la fonction PILOT minimale, sur un tour ( pour V2 fixe ):

Le support des calculs est la simulation .../@/kitmeca/ kitmeca1.m qui peut tourner pour tous les cas ( V2 fixe ou V2 optimisée )

Fonctions :

accelfix.m calcule les composantes de l'accélération spécifique F = G- g puis de F = M( G- g ) sur les axes fixes

Ra_min.m calcule la force aérodynamique minimale à donner pour qu'un mouvement circulaire hélicoïdal existe ( pas nécessairement très énergétique ) connaissant la force spécifique F ou la mesure accélérométrique F.

II PUISSANCE DISPONIBLE ET CONTRAINTES DE PILOTAGE :

Nous avons établi que les capacités de pilotage pouvaient être résumées par une fonction G attachée au domaine de vol du kite qui doit rester supérieure à PILOT définie plus haut.

Notamment cette variable PILOT dépend :

- De la trajectoire par les variables a et d qui définissent le cercle et s l'abscisse curviligne de position.

- De l'altitude de travail par L

- De la vitesse du vent portée par Xa, de module V

- De la vitesse de montée fixe V2 ( pour l'instant constante) que nous avons choisie pour l'obtention de la puissance

Il parait probable qu'un compromis devrait s'imposer entre tous ces choix. Les paragraphes qui suivent vont tenter d'éclaircir la question.

1°) Influence de l'altitude L de départ :

Le graphique ci-dessus est lumineux, plus le travail s'effectue haut, plus la contrainte de pilotage est souple. Comme le vent en altitude est plus puissant et plus régulier qu'au sol, il vaut mieux donc travailler le plus haut possible.

Courbes pour un vent de 6 m/s, V2=1.63 m/s

NB1 : On peut donc déduire que lors de la montée du kite en altitude, le pilotage devient de plus en plus facile.

NB2 : La durée d'une boucle semble en proportionnelle à la longueur du câble.

2°) Influence de la vitesse du vent :

Courbes pour L = 150 m, V2 = 1.63 m/s

Si la géométrie de la trajectoire est verrouillée ainsi que la vitesse V2 de montée, PILOT est une fonction décroissante de la vitesse du vent. Autant dire que le pilotage est sûrement plus facile quand la vitesse du vent croît et donc plus aisé en altitude.

Nb : Par contre, la durée d'une boucle semble sensiblement inversement proportionnelle à la vitesse du vent, ce qui laisse supposer  ( à confirmer ) que la vitesse du kite doit augmenter en proportion directe de la vitesse du vent..

3°) Influence de la vitesse de montée V2 :

Cas L=100 m vitesse vent = 6 m/s

Décroissance très nette du critère PILOT avec la diminution de la vitesse de montée. Reste à voir l'incidence, sûrement négative sur la production d'énergie, mais dans quelle proportion. Ceci sera à préciser sur un vol réel.

III LE PILOTAGE PERMET DE RETROUVER LA TRAJECTOIRE DE WELLICOME :

Par prudence et pour vérifier que les calculs de l'accélération sont corrects, on intègre le vecteur accélération et aux erreurs d'arrondis près  ou d'estimation de l'accélération, on doit retrouver sensiblement la trajectoire de montée hélicoïdale.

1°) Vérification de prudence  : 

Le support des calculs est la simulation .../@/kitmeca/ kitmeca2.m dérivée de .../@/kitmeca/ kitmeca1.m .

Nous prenons un cas de vol hypothétique, c'est à dire de capacités aérodynamiques non vérifiées, ceci uniquement pour contrôler l 'avancée correcte de la simulation.

Conditions : simulation pour L=100 m qui fournit :

* Vitesse initiale  --> vit_abs_vect(1,1:3) =[1.6052 45.2504 0.2830]' m/s   

*  Pour la position -> pos_abs_vect(1,1:3) ou pos_cerc(0) ce qui donne le rayon vecteur initial absolu  [98.4808 0 17.3648]' m

Attention :  
L'intégration, doit se faire par rapport au temps, or les simulations utilisent l'abscisse curviligne de la la projection de la trajectoire sur la sphère de rayon L. Il y a donc une correction à opérer sur la dérivée.

Pour les explications déjà fournies, voir le paragraphe dédié.

2°) Simulation spéciale de reconstitution de la trajectoire  : objet de la simulation .../@/kitreel/ dynamic1.m

Il a été enregistré avec beaucoup de précision ( save dynamic.mat temps1 accel_fixe vit_abs_vect pos_abs_vect ) les résultats de la simulation .../@/kitmeca/ kitmeca3.m , dans un fichier dynamic.mat :

- Le vecteur accélération (accel_fixe) par ses 3 composantes dans les axes fixes galiléens

- La variable temps  ( temps1 de la simulation précédente )

CALCULS DE VÉRIFICATIONS :

1 - Vérification des équations avec un mouvement képlérien ( simulation .../@kitreel/inutile1.m basée sur la fonction ESSAI1.m ) ==> l'écriture des équations L1 L2 L3 est correcte et le calcul des coefficients Q1 Q2 Q3 avec la matrice est aussi correct. On retrouve bien une ellipse fermée.

2 - Vérification de la logique de reconstruction. Elle pose question, car malgré les équations correctes, l'intégration ne donne pas satisfaction. Fournissant au départ des forces donnant exactement l'accélération qui avait lieu sur le cercle, je n'arrive pas à retrouver ce cercle ni la montée en altitude à vitesse V2 constante..

C'est l'objet de la simulation .../@kitreel/inutile2.m basée sur la fonction ESSAI2.m 

a) Je calcule l'accélération pour les données de DataMeca.m   dans .../@kitmeca/kitmeca3.m

M=10;                                   % Masse du kite en kg
alpha=20*pi/180;
delta=30*pi/180;                   % Ascension droite de la position moyenne
L=100;                                  % Longueur initiale du câble
finesse=6;                              % Finesse
VitVent=6;                             % Vitesse du vent 
surface=5;                              % Surface de voilure en m²
Cx=0.2;                                 % Coefficient aérodynamique de traînée  
V2_fixe=1.63;                       % Vitesse ascensionnelle fixe en m/s

La durée de la première boucle est de 5.8631 secondes, les résultats intéressants pour la suite sont sauvés dans dynamic.mat 

Récupération des données dans l'espace Matlab par save dynamic.mat vit_abs_vect pos_abs_vect temps1 accel_fixe

Transfert du fichier dans .../@kitreel

La fonction accelera.m récupère les valeurs de l'accélération et les rend compatibles avec la variable temps  ( car la variable de la simulation était s )

b) La simulation .../@kitreel/cfg_vol1.m permet d'intégrer en axes absolus, l'accélération pour retrouver le cercle initial. Initialisation par DataKite.m

Conditions initiales de position : [98.4807 0 17.3647]'  =[L cos(d-a) 0 L sin(d-a)]  

Conditions initiales pour la vitesse : [1.6052 45.2504 0.2830]'  ( teta0=0, psi0 =0 )

VérificationS : Double vérification, les 2 concordent, dans la simulation cfg_vol1.m

Grâce aux fonctions y=Test_TC1.m et y=Test_TC1.m, où la variable d'entrée est le temps, je vérifie ( max(test_tension(10:length(temps)-10)) =1.23 10^-5 N près ) que la tension T calculée en parallèle avec Ra et celle qui est traduite en (6) sont bien 2 fois identiques, ceci en récupérant :

- les angles q et y dans la position intégrée pos_abs(temps)

- les  dérivées de ces angles dans la vitesse intégrée vit_abs( temps)