ESSAI DE MODELISATION

Les pratiquants de Kite Surf utilisent couramment des manœuvres où le kite décrit des arcs de cercle ou de quasi cercle pour augmenter la puissance de traction. Ils remarquent aussi que le cerf-volant prend de la vitesse et donc se crée son propre vent relatif qui peut être plus grand que le vent réel !!!. La commande ne coûte pratiquement rien en énergie fournie par les muscles du sportif, par contre l'énergie que transmet le kite au surfeur est beaucoup plus importante.

C'est partant de cette idée que nombre de projets actuels cherchent à développer cette technique de vol cyclique en huit, pour utiliser le cerf-volant soit en traction de navires marchands ou autres engins maritimes, soit et c'est pour bientôt, pour produire de l'énergie électrique, en laissant le cerf-volant grimper en altitude sur des 8 ascendants, avec le câble qui entraîne un tambour actionnant lui-même un générateur électrique.

Bien évidemment, les suspentes classiques de commande doivent être regroupées à une distance raisonnable sous la voile et ceci au dessus d'un boîtier de liaison et de commande. Une automatisation du vol doit être réalisée par un ordinateur au sol qui assure le contrôle des paramètres d'orientation de la voile. De nombreux capteurs sont nécessaires notamment pour l'accélération, la vitesse du vent, la tension du câble. Les informations circuleraient du sol vers la voile, via le câble servant simultanément de câble de traction ou de cordon ombilical à double sens.

NB : Système développé par Skysails, mais on peut aussi imaginer commander le kite depuis le sol pour des longueurs de ligne inférieures à 100 m.

Ce qui amené à cette étude, c'est au départ celle des éoliennes volantes dont la panoplie inclut des idées visionnaires de norias de "kites" ( Voir le site Kite Gen ). Ensuite, déjà en fonctionnement, la traction de navires marchands par cerfs-volants de 100 à 300 m², pour l'instant utilisés en statique et pouvant produire des tractions de plusieurs tonnes ( voir Sky Sails et étude personnelle ).

Plusieurs études antérieures m'ont apportées soit le point de départ pour un essai de mise au point des calculs, soit un résultat sans démonstration accessible que j'ai voulu retrouver. Donc loin de moi, l'idée de vouloir faire croire que je découvre quelque idée nouvelle sur l'usage de ces engins volants. C'est simplement une occasion de continuer à exercer mon métier d'enseignant en mécanique et d'y trouver la satisfaction de transmettre ce que j'espère avoir compris. Par contre, l'essentiel des calculs à partir du paragraphe II m'est personnel, n'ayant au moment où j'écris ces lignes, jamais vu de développements précis sur le sujet à part ceux déduits des travaux de Wellicome.

Précisons que les calculs qui suivent supposent le cerf-volant suffisamment léger pour que sa masse puisse être considérée comme nulle. C'est certes une approximation, mais très proche de la réalité, qui permet d'établir et confirmer en I un résultat tout à fait étonnant sur le comportement du kite.

NB : Résultat recueilli sur Internet que je confirme par la partie I ( la seule qui n'est pas strictement personnelle )

Un cerf-volant est en mouvement avec le point d'attache sur une sphère ( en oubliant le rôle des suspentes de commande ) :

- Dans un vent réel de vitesse V horizontale par convention et simplification des calculs suivant Xa

- Finesse instantanée f = Cz/Cx = 1/tge = cotge portance Rz et traînée Rx

La position du kite est fixée par sa latitude q ( ou ascension droite ou élévation ) et sa longitude y .

Le kite de trajectoire bleue a une vitesse absolue V_kite d'unitaire U, la vitesse apparente est Va d'unitaire i. Nous savons que les forces aérodynamiques dépendent de la vitesse Va du kite par rapport à l'air, de l'incidence et du nombre de Reynolds. Cette dépendance apparaît dans les coefficients Cx et Cz de traînée et de portance, qui ne peuvent s'obtenir qu'en soufflerie ou par des calculs très complexes et approchés, tant l'aérodynamique est compliquée.

Étonnamment, la démonstration ne requiert que peu de connaissances. En effet, avec une masse négligeable considérée nulle, le kite sans quantité d'accélération est donc soumis à une somme de forces nulles, soit :

La vitesse apparente du kite s'exprime, pour toute position de l'espace accessible, uniquement en fonction de la vitesse du vent, de la position du kite et de l'angle de finesse e

- Pour une même position, la vitesse apparente Va croît avec la finesse f, d'où l'intérêt de commander le vol à l'incidence donnant la finesse maximum

- Si on considère que le plan OXaZa est le plan de référence de position, plus on s'écarte de ce plan, plus la vitesse apparente décroît et donc aussi la traction. Résultat que l'on pouvait anticiper!!

- Plus le cerf-volant s'approche du zénith, plus la vitesse apparente décroît et donc la force de traction. En pratique, pour éviter que la portance ne redresse trop le câble, il faut diminuer l'incidence, le résultat n'est pas meilleur.

Il semble évident que l'usage rationnel du kite comme moyen de traction ( ou éventuellement d'énergie ) demande à être optimisé. Ce qui équivaut à dire que l'on doit voler dans un domaine où le vent apparent créé est plus grand que le vent réel. Donc Va > V.

Le kite a pour coordonnées x, y , z et le domaine D est caractérisé par la relation

Sur la figure suivante le domaine D ( en bleu ) apparaît clairement comme une fenêtre délimitée par un plan normal au vent, et une coque sphérique vers l'avant.

Il faut reprendre l'expression de Va. Rappelons que le vecteur U est dans le sens du mouvement et donc v > 0

L'étude n'a de sens que si l'on sait calculer la vitesse du kite qui permettra d'obtenir Va, au point ( y, q ) où il se trouve.

Dans le domaine de vol optimal D ( où l > 1 ) l'équation ci-dessus a toujours des racines dont une seule K est positive, donnant

- Avec une finesse élevée ( f >7 ) et pour des manœuvres s'écartant peu de l'axe du vent ( y < 15° et q voisin de 45° ), le produit scalaire | Xa.U | < 0.26.

Remarque pratique : Cette relation montre qu'à caractéristiques aérodynamiques et vitesse de vent fixées, la force de traction est proportionnelle à Xkite = cosy cosq qui est l'abscisse courante du kite. On a donc tout intérêt à utiliser le kite aussi loin que possible du zénith, c'est à dire couché au maximum vers le sol et aussi près que possible de l'axe du vent. Il faut donc réduire au maximum ( en tenant compte des contraintes de pilotage ) l'angle b . L'idéal serait de naviguer de long en large symétriquement, avec des virages très courts.

Un cerf-volant ou "kite" est maintenu par un ensemble de longueur L, supposé manœuvrer avec un vent de vitesse V, et suit une trajectoire en huit horizontal, caractérisée par ( voir figure plus bas ):

- Point de départ une position d'équilibre en P0, dans le plan X Z, élévation d.

- Un parcours vers le bas P0P1 suivant une portion de grand cercle, d'angle au centre a

- Un parcours "rectiligne" P2 P3 suivant un autre grand cercle, d'angle au centre 2a

- Un parcours sur le même grand cercle que P1 qui le conduit en P0, d'angle au centre

Le repère fixe galiléen de calcul est O XaYaZa avec O XaYa le plan horizontal ( sol ou mer ) et Za la verticale ascendante.

Po position moyenne du "kite" est repéré par la longueur L = OPo et l'angle d, son ascension droite. Les parties P4P1 et P2P3 des grands cercles sont repérées par leur azimut de direction b en Po. Les 2 vecteurs unitaires tangents, en Po, dans le sens du mouvement sont Uo et Vo. Donnons les composantes en axes fixes, auxquels tous les calculs qui suivent se réfèrent.

Z désignera toujours l'unitaire de O vers le kite et U toujours le vecteur tangent dans le sens du mouvement, pour toutes les parties de la trajectoire. Aux points particuliers un indice fait la différence ( ex : Z1 ou U3 .....)

Les trajectoires P4 P1 et P2 P3 sont dans les grands cercles orientés par K1 et K2 et caractérisées par l'angle a de demi-parcours angulaire.

- Assurer la continuité et garder la tangente commune, comme le cercle est plan et tangent à U2 et U1, son plan est normal au produit vectoriel de U1 et U2

Pour le cercle P3P4, la rotation se fait autour de W₂ et doit conserver le même sens de parcours

NB : Tous les vecteurs sont programmés dans une fonction Axes_kzu.m qui demande L, delta, alpha, beta, fournis dans un fichier de données DataKite

Le travail important consiste maintenant, à faire parcourir le huit avec un paramètre ( on prend l'abscisse curviligne s tout au long de la trajectoire), en suivant l'évolution des variables vectorielles suivantes:

NB : Toutes les fonctions ou programmes utilisés sont dans C:/@kiteSph ( Cas d'un mouvement sur une sphère ) RETROUVER LES FICHIERS

pos_huit.m ------> position vectorielle en fonction de l'abscisse curviligne u [ y = pos_huit(u) ]

vit_kite.m ------> module de la vitesse du kite en fonction de l'abscisse curviligne u [ y = vit_kite(u) ]

PlotVitK.m permet le tracé de la norme de la vitesse du kite et de la vitesse apparente du vent.

Utilisation des ressources informatiques

Dans tous les cas, renseigner DatKite, puis exécuter Axes_kzu. Ensuite les autres fonctions ou programmes qui ont recours à Axes_kzu, peuvent travailler seuls, à condition de rester tous dans le même répertoire de travail

L'abscisse curviligne vaut s0=0 en P0, s1=La en P1, s2=La+r*g en P2, s3=3La+r*g en P3 puis 3La+2*r*g en P4 et enfin s5=4La + 2*r*g en P0 point de fermeture du huit.

La fonction y = pos_huit(u) donne le rayon vecteur en colonne de l'abscisse curviligne u de la position du kite. Sans s'étendre sur les calculs, il s'agit simplement du paramétrage de chaque cercle par un angle. Il n'y a aucune difficulté particulière.

Les performances du cerf-volant sont bien résumées par sa finesse et la valeur maximale de cette finesse. Nous l'appelons f, c'est une des données du programme Axes_kzu.m

La relation de Wellicome et la formule (1) permettent le calcul de la norme de la vitesse v du kite sur le huit, pour un vent donné de vitesse V suivant Xa et la position sur trajectoire.

La fonction y = vit_kite(u) donnant en particulier la norme de la vitesse du kite et le programme de tracé PlotVitK.m permettent d'obtenir ce graphe ( pour un vent de 5.1 m/s , alpha = 15° et beta = 25°)

On notera une très nette amplification des vitesses, soit du kite soit de sa vitesse apparente.

On y remarque que les parcours PoP1 et P0P3 qui ramènent le kite plutôt dans le sens du vent , fournissent une traction plus importante contrairement à ceux qui "fuient " le vent.

Remarque générale : Lorsqu'on fait varier l'angle a c'est à dire la longueur des parcours sur les grands cercles, la valeur maximale de la traction obtenue en Po ne varie pratiquement pas, par contre quand a diminue, le niveau de la valeur minimale croît fortement. En clair, plus les évolutions du kite sont serrées, plus il tire.

Le facteur d'amplification ( variant de 5 à 12 ), par rapport à la force constante en statique est représenté ci-dessous. La fonction y = PlotFact réalise le tracé.

Ce facteur croît avec la finesse. On comprend alors comment des accidents de kite surf peuvent survenir avec des engins performants, de finesse élevée, si par erreur, on "embarque" le kite dans une trajectoire amorce d'un huit. La force peut alors dépasser le poids du surfeur et c'est le décollage certes, mais qui peut perdurer si le huit se poursuit!!! L'engin peut alors, surtout si le vent forcit, grimper très haut.

Dans cette partie, on suppose que le kite est relié au sol par un câble dont la longueur contrôlée permet un mouvement ascensionnel du kite avec une vitesse V_H suivant l'axe du câble. En clair la projection sur une sphère fixe de centre O reste le huit défini dans le chapitre précédent, avec les mêmes notations Z pour l'unitaire du câble, U pour l'unitaire tangent au huit en projection sphérique. La figure de vol ressemble à la suivante :

Plusieurs systèmes futuristes actuellement à l'étude se proposent de récupérer l'énergie gratuite du vent pour produire de l'énergie électrique en particulier.

Il est donc évident qu'il faut faire travailler la force aérodynamique. Qui dit travail d'une force, dit déplacement du point d'application de cette force. D'où l'idée de libérer la coordonnée ascensionnelle en contrôlant ou pas le mouvement ascendant du kite ( question à étudier pour éviter une mise en drapeau intempestive!! ).

Résumons nous: le kite peut monter, le câble actionne alors un tambour qui fait tourner une génératrice d'énergie électrique.

Problème? Plus le kite monte vite, moins il a de vent apparent et donc de traction. Par contre la vitesse augmentant, la puissance pourrait croître. On sent bien qu'un compromis est nécessaire, pour optimiser la production d'énergie en fonction des conditions de vol ( question à étudier !! ).

- Z sera l'unitaire de la direction du kite ( repéré par les 2 angles longitude et latitude y et q ).

- U sera l'unitaire de la tangente à la projection du kite sur la sphère unité.

- R(t) le rayon vecteur maintenant variable du câble. Sa valeur initiale est L. La dérivée temporelle de R est la vitesse ascensionnelle V_H ou v₂ portée par Z.

- Parcours_total est la distance parcourue sur un huit projeté sur la sphère unité.

- N est le nombre de huit décrits dans un cycle productif, avant la redescente rapide vers le sol.

- Va ou Vapp est la vitesse du vent apparent, c'est à dire la vitesse du vent vue du kite et donc responsable des forces aérodynamiques sur le kite. l'axe i sera son unitaire

- Cx, Cz, f et e, y, q, d gardent les mêmes significations que dans I et II

- s désignera l'abscisse curviligne de la projection du kite sur la sphère de rayon L longueur de base du câble en début de cycle. C'est le paramètre de position sur le huit, figé une fois pour toutes sur cette sphère.

- t est la variable temps écoulé depuis le premier passage en P0. T est la durée d'un cycle de N montées.

- D(t) ou D(s) désignera la distance totale parcourue, depuis le début du cycle, par le kite sur les huit successifs. Df est la distance finale parcourue sur la durée d'un cycle de N montées

- P désignera la puissance théorique développée par le kite, celle qui affectée des rendements de la chaîne énergétique, conduira à la production réelle d'énergie électrique. Elle sera délivrée en KWh.

Nous allons établir une relation analogue et généralisée de celle de Wellicome ( qui l'a sûrement établie ), dans le cas où le degré de liberté suivant Z est libéré, pour exprimer que le kite peut avoir une vitesse ascensionnelle v2. Le calcul est le même, commençant par la composition des vitesses.

pour terminer avec la formule généralisée de Wellicome ( non retrouvée, mais elle devrait ressembler à la suivante )

Il apparaît clairement que la vitesse V₂ vient en déduction de Vcosy cosq et donc ( c'est évident ) que le mouvement vertical diminue la vitesse apparente du vent. La force de traction s'en trouvera diminuée. L'incidence en est sûrement affectée et une étude aérodynamique plus précise est nécessaire, étude qui devrait certainement restreindre le domaine de vol.

La vitesse apparente Va doit d'une part être toujours > 0 , c'est le domaine de vol le plus grand, à respecter strictement, sinon le kite va partir en "drapeau"

mais pour être efficace, il vaut mieux qu'elle soit, si possible, plus grande que la vitesse V du vent, donnant un domaine de vol plus réduit ou peut-être vide. La condition s'adapte et devient:

NB : Rien n'oblige à respecter cette dernière condition. Le kite pourra voler si et seulement si Va est simplement > 0.

Dans tous les cas la vitesse de montée choisie ( soit fixe soit optimisée ) est bornée supérieurement.

La technologie de récupération de l'énergie consistera à déterminer la bonne vitesse v2 qui permet de décrire le huit, en donnant une énergie moyenne maximum sur le parcours du huit. On peut toujours imaginer qu'un automatisme contrôle à chaque instant, la tension du câble et laisse plus ou moins "filer" le kite pour une production optimale. Je n'en suis pas là et ce serait présomptueux de s'y lancer dans la mesure où le calcul à masse de kite nulle est approché.

Donc, nous fixons la vitesse ascensionnelle v₂. Bien sûr, cette valeur respecte l'inégalité (3). Simplement plus v2 s'approche de sa limite supérieure, plus le domaine de vol se réduit!!!

Comme plus haut nous formons l'équation du deuxième degré donnant Vk vitesse du kite. On introduit quelques variables auxiliaires.

On pose comme inconnue v2 représentée par la constante sans dimension K qui devient l'inconnue principale.

La condition (3) entraîne C < 0 et donc nécessairement l'existence d'une seule racine positive pour K.

Pour v₂ fixée et le kite dans son domaine de vol, la vitesse du kite est V_K donnée par les relations ci-dessous

La vitesse apparente Va se calcule avec la vitesse du vent V par

La puissance de la force de traction est P = R_a v₂. Les calculs précédents montrent clairement que la vitesse ascensionnelle a 2 effets contradictoires : elle diminue la force aérodynamique locale Ra tout en augmentant le produit qui conduit à cette puissance. Une optimisation est nécessaire.

Un calcul simple de dérivée montre que le numérateur de la fraction, considéré comme fonction de v2, est maximal quand

CAS 1 : Si l'on est capable d'asservir la vitesse v₂ à la position ( y, q ) sur le huit suivant la relation ci-dessus, alors la puissance instantanée optimisée vaut

Remarques : dans une phase où il faut réduire la vitesse, un frein électroniquement contrôlé fait l'affaire, mais si la vitesse doit être augmentée, le mieux à faire est de "laisser filer" les suspentes, pour se rapprocher au mieux de la vitesse idéale. Seule l'expérimentation permettra de conclure.

CAS 2 : Si seulement on contrôle v₂ en la maintenant constante sur le huit alors la puissance instantanée vaut

Remarque : là encore, il est possible de choisir globalement la meilleure valeur de la vitesse v2, en optimisant l'énergie produite sur un cycle complet à vitesse de montée fixe v2. Expérimentation et calculs à l'appui, on pourra comparer.

Rappelons que s est l'abscisse curviligne uniquement sur le huit projeté et non sur la trajectoire. D(s) =D(t) est la distance totale , aisément calculable du huit complet, en fonction des données a, b, d, L, on a, dans tous les cas, statique ou dynamique :

C'est de cette façon que nous calculerons le rayon vecteur dans toutes les simulations.

Si nous posons comme fonction inconnue Y, on obtient un système différentiel classique, fermé, fournissant Y, compte tenu des conditions initiales

Dans tous les cas, l'énergie mécanique initiale produite par le mouvement ascensionnel, se calcule par intégration sur un cycle de N figures en huit. Pour pouvoir comparer les énergies, il faut se donner le même temps de "travail" T et calculer l'intégrale de la puissance, sur chaque trajectoire.

D(T) désigne la distance ou l'abscisse curviligne parcourue sur le huit en projection sur la sphère de référence. Il faut donc procéder à une intégration, dans la simulation et stopper le calcul au temps T, pat exemple 60 secondes.

La production d'énergie s'obtient en utilisant la force de traction des suspentes ( ou d'un câble ) pour actionner un tambour d'enroulement ou de récupération du kite, qui fait tourner une génératrice de courant.

Les phases de montée productrices de une à plusieurs minutes, alternent avec des phases de descente rapide, voile en drapeau, pour repartir sur une nouvelle montée. Bien évidemment, nombre de contrôles sont nécessaires :

- Procédure de récupération en urgence, si le vent faiblit. Certains projets prévoient des souffleries de secours, pour éviter de voir la voile se dégonfler et traîner par terre.

L'essentiel des résultats présentés dans les rubriques qui suivent provient d'une simulation sous Matlab ( info --> version ancienne de 1994 ). RETROUVER LES FICHIERS

Initialisations et données : en bleu, dont données numériques dans DataKite.m

- Renseigner le fichier DataKite.m avec a, b, d, VitVent ( vitesse du vent ), Cx, Cz, finesse, V2_fixe ( vitesse de montée fixe ), surface de voile, longueur initiale L du câble, nombre N de tours.

- Cliquer sur la boîte initialisations pour lancer DataKite et Axes_kzu, nécessaires à toutes les applications.

NB 1: L'espace de travail propose une plage de valeurs de la vitesse de montée V2_fixe, dans le cas montée à vitesse constante.

NB 2 : Si on souhaite exploiter un seul huit, cliquer alors sur la boîte "un seul tour N=1"

alpha=20*pi/180;          % 1/2 angle des parties grands cercles --> 20°
beta=20*pi/180;           % 1/2 azimut des 2 directions PoP1 et P2Po ---> 20°
delta=60*pi/180;          % Ascension droite de la position moyenne -- > 60°
L=30;                           % Longueur initiale des suspentes --> 30 m
finesse=6;                     % Finesse
VitVent=6;                   % Vitesse du vent ---> 6 m/s
surface=5;                    % Surface de voilure ---> 5 m²
Cx=0.2;                       % Coefficient aérodynamique de traînée
N=10;                          % Nombre de boucles en huit avant la redescente
V2_fixe=1.1;                % Vitesse ascensionnelle fixe V2 = 1.1 m/s

L'exécution de Axes_kzu.m propose une plage de choix pour la vitesse de montée V2_fixe (non obligatoire ).

a) Force de traction : On trouve une variation sur les 10 cycles de 500 à 2500 N avec une moyenne à 1460 N

NB 1 : Une simulation sur 1 tour, montre que la force maximale est obtenue dans les parties rectilignes près du point de croisement Po.

NB 2 : Pour le vent de 6 m/s, le rapport de cette force F à celle obtenue en statique F0 est F/F0 = 9.3, la raison est donnée ci-dessous, avec une vitesse apparente de vent entre 12 et 25 m/s donc 2 à 4 fois plus grande que celle du vent vrai.

De toute évidence, la plus grande vitesse est obtenue dans les parties rectilignes, là où la vitesse du kite s'ajoute en grande partie à celle du vent, alors que les virages circulaires se font en sens contraire du vent.

En vol non optimisé, la puissance varie sensiblement de 200 à 850 Watts pour une moyenne de 518 Watts.

Nous dirons que, pour 5m² de voilure et 6 m/s de vent, ce kite produit 85 W/ m²

Remarque 1 : Si l'on s'autorise à extrapoler, une voile du type de celles utilisées pour la traction des navires, avec 300 m² de surface, pourrait produire une puissance brute de 4.25 KW

Remarque 2 : Le vent actuel est de 6 m/s, on peut imaginer un vent 15 m/s soit 2.5 fois plus important, ce qui donnerait une puissance multipliée par le cube 2.5, soit une puissance de 82 KW 15 à 16 fois plus grande.

Entre un vol à vitesse de montée constante, bien choisie et un vol à vitesse optimisée et contrôlée à chaque instant, la différence de production d'énergie est faible ( de l'ordre de 7 %, on peut faire mieux à 6% avec V2 = 1.1 m/s )

NB : On note une progression linéaire à pente constante, qui est la puissance P = 18000/35 = 514 Watts.