MECANIQUE D

RUDIMENTS DE MECANIQUE

EN EOLIEN

NB : L'auteur de cette page ne fait que retranscrire ce qui lui semble valable pour ses développements ultérieurs plus personnalisés. Par prudence et courtoisie, il cite les sources.

Sources : Tirées de http://web.univ-pau.fr/~omari/TPeol.pdf et http://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_de_Betz

A - PUISSANCE THEORIQUE MAXIMUM :

On considère, animée d’une vitesse , la colonne d’air de longueur dl =V dt, de section S, de masse volumique ρ, qui traverse durant dt les pales de l'éolienne. Le débit massique est q = dm/dt = (r S Vdt)/dt = r S V

L’énergie cinétique de cette colonne d’air est donc dWc = 1/2 dm V² = 1/2 ρ S V³. On en déduit ainsi l’expression de la puissance maximale disponible par m² de surface d'éolienne :

.
La puissance disponible par m²

NB : Cette énergie serait en théorie récupérable entièrement en l'absence de pertes ( pas de viscosité ) et une vitesse nulle en sortie d'éolienne, derrière les pales

B - PUISSANCE RECUPERABLE :

1° ) Puissance réelle:

On définit un coefficient de performance Cp propre à chaque éolienne, comparable au rendement d’un moteur thermique, qui dépend directement des caractéristiques de l’éolienne. Ainsi ce coefficient de performance varie avec le vent, comme le montre le graphique ( à titre d'exemple )

APPLICATION NUMERIQUE : reprenant les données de l'article cité plus haut pales de 87 m de diamètre, vitesse air de 13 m/s et rendement Cd = 0.45.

Le calcul donne une puissance voisine P = 1500 KW=1.5 MW

2° ) Puissance récupérable théorique ( Théorie de Betz ):

On considère 3 sections, avec les quantités associées indexées Vitesse V, pression p, Section S :

Considérons quatre points sur une même ligne de courant : un point en amont ( sur S1 ), un point "juste avant" le capteur proprement dit, un autre "juste après", et un dernier en aval (sur S2) :

Aux deux points loin du capteur, sur S1 et S2, la pression est égale à la pression atmosphérique $p_0$

Aux deux points proches du capteur, la section est égale à la surface S, comme le débit massique est constant la vitesse du vent est la même en ces deux points : $v$ . En revanche il y a une discontinuité de pression entre ces deux points.

L'écoulement est supposé parfait et stationnaire, et le fluide est supposé incompressible (masse volumique constante) ; l'effet du champ de pesanteur est nul (l'air capté flotte dans l'air "autour", la poussée d'Archimède équilibre exactement le poids de l'air, dont l'éventuel travail - même en supposant une variation d'altitude - est ainsi annulé). On applique le théorème de Bernoulli deux fois, d'une part entre l'amont et le point juste avant, d'autre part le point juste après et l'aval ; on a donc :

$\frac {p_{0}}{\rho}+\frac {v_{1}^2}{2}=\frac {p_1}{\rho}+\frac {v^2}{2}$

: $\frac {p_{0}}{\rho}+\frac {v_{2}^2}{2}=\frac {p_2}{\rho}+\frac {v^2}{2}$

La soustraction donne

$p_1 - p_2 = \frac {\rho}{2}(v_{1}^2 - v_{2}^2)$

La force exercée par le vent sur le capteur est

$F = (p_1 - p_2).S = \frac {\rho}{2}(v_{1}^2 - v_{2}^2).S = \rho.S.\frac {(v_{1}+ v_{2})}{2}(v_{1}- v_{2})$

Mais cette force peut aussi s'exprimer par application de la loi de Newton, le débit est DM = r SV :

$\begin{align} F & = m \cdot a \\ & = m \cdot \tfrac {dv} {dt} \\ & = Dm \cdot \Delta v \\ & = \rho \cdot S \cdot v \cdot \left ( v_1 - v_2 \right ) \\ \end{align}$

L'égalité des deux expressions (4) et (5) implique que

$v = \frac {(v_{1}+ v_{2})}{2}$

et la puissance développée par cette force est

$P = F.v = \frac {\rho}{2}(v_{1}^2 - v_{2}^2).S.v$ ;

Si on exprime cette puissance en fonction de x = v2/v1, du rendement r, et de $P_0$ la puissance incidente du vent non perturbé :

$P_{0}=\frac{1}{2} \rho S v_{1}^3$

on obtient

$v = v_1\frac{1+x}{2}$

$r=\frac {P}{P_{0}}=\frac{1}{2}(1-x^2)(1+x)$

On peut alors tracer le rendement r de l'éolienne en fonction de x :

Le maximum est atteint pour x=1/3, et alors r = 16/27. D'où la limite de Betz :

$P_{extraite}^{max} \,\, = \,\, \frac {16}{27} \, P_{incidente}$

En clair la récupération théorique maximale ne peut dépasser 59.6 %. Des calculs plus fins pourraient indiquer un résultat plus faible de l'ordre de 50%

C - FORCES SUR L'EOLIENNE :

1°) FORCE DE TRACTION :

Nous venons de voir au passage que le capteur éolien de section S est soumis à une force de traction ( dans le sens du vent ) qui vaut en première approximation

$F = (p_1 - p_2).S = \frac {\rho}{2}(v_{1}^2 - v_{2}^2).S = \rho.S.\frac {(v_{1}+ v_{2})}{2}(v_{1}- v_{2})$

Nous ne connaîtrons cette force qu'en fixant le ration V2/V1

NB : Cette force ne doit pas être confondue avec la traînée sur le ballon, elle vient s'y ajouter. De plus, la formule de Betz montre que le maximum de puissance s'acquiert pour V2 = V1/3. Nous conserverons cette hypothèse, à défaut d'étude plus précise.

Donc la force de traction sur l'éolienne vaut

Exemple numérique :

Une éolienne de 4 m de diamètre, dans un vent à V1=15 m/s en amont et V2 = 5 m/s en aval, est soumise à une force F=1600 N pour une puissance maximum inférieure à

Modélisation de T: ( personnelle ) : il est clair que la force de traction, augmente donc avec la vitesse du vent si l'on reste au point optimal de l'étude de Betz. Or nous savons que la technologie des éoliennes impose de limiter la vitesse angulaire ce qui veut dire que plus le vent est fort, plus on laisse passer la veine d'air. Pour simplifier et fixer les idées, on peut admettre que le rapport Keol = V2/V1 croît de 1/3 ( rendement optimal à 16 m/s ) à 1 ( limite de fonctionnement à 30 m/s, éolienne arrêtée ) lorsque V croît de 15 à 30 m/s.

Bien évidemment, pour une étude de réalisation, il convient de mieux définir cette modélisation, qui n'est là que pour montrer qu'elle est nécessaire.

Dans ces conditions :

2°) FORCE DE TRAÎNEE :

De manière générale, quand un volume est placé dans une masse d'air en mouvement relatif par rapport à elle ( soit parce que le volume est mobile, soit parce que l'air est en mouvement, soit les deux ), il est soumis à des actions aérodynamiques, dont notamment une force R.

Cette force se décompose classiquement en deux composantes, dont l'orientation est liée à la vitesse relative ( dans le cas d'un véhicule en mouvement dans une masse d'air ):

- Une traînée Rx dans le sens de la vitesse relative, freinante

- Une portance Rz dans une direction normale, souvent utilisée en sustentation, comme portance, notamment pour les avions.

Suivant la conception du porteur de l'éolienne, ballon, voile, cerf volant ...il y a lieu de prendre en compte les deux composantes ( une favorable la portance et l'autre défavorable la traînée )

Les 2 coefficients Cx et Cz sont des fonctions complexes de la vitesse du vent relatif V, du nombre de Reynolds, de la géométrie du volume et de son orientation dans le vent relatif.

L'estimation précise de ces coefficients doit être validée en soufflerie après avoir été estimée par des logiciels sophistiqués d'aérodynamique..

Donnons pour mémoire la portance et détaillons la traînée.

Classiquement la force de traînée se calcule par

S est la surface du maître couple, Z est l'altitude sol, V la vitesse moyenne laminaire du fluide.

Il nous manque donc le coefficient aérodynamique de forme Cx du ballon. L'aérodynamique indique que ce coefficient dépend de la géométrie du corps et du nombre de Reynolds Re .

Viscosité dynamique :

Tiré de Wikipédia cité textuellement une note sur la viscosité dynamique:

"La viscosité d'un fluide varie en fonction de sa température et des actions mécaniques auxquelles il est soumis. Voir par exemple à ce propos le phénomène d dethixotropie. Pour déterminer l'importance de l'effet de la température sur la viscosité d'un fluide, on utilise un indice de viscosité. Plus cet indice est grand, moins la température a d'influence sur la viscosité du fluide.

Concernant un gaz, il est courant d'utiliser la loi de Sutherland définie de la façon suivante :

$\frac{\eta(T)}{\eta_0} \approx \left( \frac T{T_0} \right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S}$ ,

où :

$\eta_0 = \eta(T_0)$ est la viscosité à la température $T_0$ ;

$S$ est la température de Sutherland.

Pour l'air par exemple on prend habituellement les valeurs suivantes : $\eta_0$ = 1,715⋅10^-5 Pa.s, $T_0$ = 273,15 K et $S$ = 110,4 K, ce qui donne une bonne approximation sur une plage de température de l'ordre de 170 K à 1 900 K environ."

Coefficient de trainée :

Tiré du site http://jolaberge.blogspot.fr/2014/10/poussee-darchimede-et-trainee.html

Par exemple, un ballon sphérique, de 10 m de diamètre, dans un vent à 20 m/s à 0°C : la viscosité dynamique vaut environ 1.2 10⁷ ( régime turbulent ) ce qui donne

Cx = 0.47 environ ( Valeur sensiblement confirmée ailleurs ). La traînée vaut alors Rx = 3055 N

D - CONCLUSION SUR LES ACTIONS SUR LE BALLON :

1 - LA TRAÎNÉE GENERALISEE :

En additionnant les deux types de traînée ( aérodynamique sur le ballon et traction sur l'éolienne ), on trouve :

Ce qui équivaut à changer de valeur de Cx et prendre un coefficient total variable en fonction de la vitesse V, avec une surface de référence S égale au maître couple du ballon seul

Conclusion : Un travail complémentaire nécessaire et intéressant consisterait à modéliser correctement l'évaluation du nouveau Cx en fonction de la vitesse du vent. L'aide d'un aérodynamicien est nécessaire.

Modélisation ( personnelle ):

Sous Matlab le Cx sera fourni par la fonction Cx = Cx_aerod.m Cx=Cx_aero(vitesse)

2 - LA FORCE SE SUSTENTATION :

Si on suppose le ballon gonflé à l'hélium, de masse volumique 0.18 kg/m³, dans une masse d'air ( près du sol ) de masse volumique 1.225 kg/m³, la force de sustentation ou poussée d'Archimède diminuée du poids de l'hélium vaut

Pour un ballon sphérique

Pour un ballon comme ci-dessous :

Exemple : R = 6 m, r = 4 m, H = 6 m -> V = 426.4 m³capables avec de l'hélium de soulever environ 430 kg,

NB : En pratique, il faut retenir que tout m³ d'hélium emporté peut sustenter une masse de 1 kg

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