DÉVELOPPEMENTS 

SUR LE CALCUL DU CÂBLE

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A - NOTATIONS :

 B - MISE EN EQUATIONS GENERALE :

1°) Figure générale :

2°) Figure support des calculs :

Figure1

Liaisons: R1 et R sont les actions de liaisons avec le sol ( ou la base du ballon ). Ces 2 forces sont tangentes au câble en B et O. R est l'opposé de la tension du câble en O et R1 la tension du câble en B.

3° ) Les bases du calcul :

Le profil du câble sous l'action de R, R1, de la pesanteur et de la traînée est une courbe à déterminer en même temps que l'effort principal T appelée tension qui conditionne la résistance du câble.

Nous travaillons en statique, sachant très bien que dans la réalité le câble est soumis à des forces variables ( variabilité du vent ) et est donc à des déformations dynamiques dont l'étude dépasse le cadre de ce travail.

La vitesse du vent est fixée pour ce cas de calcul

Forces calculables connaissant H et Vair = vitese du vent W :

La force R1 ( qui se confond avec T1 ) en bout de câble B est accessible, connaissant H et la vitesse du vent, puisque résultant de :

- Poussée d'Archimède sur le ballon, calculable par la géométrie du ballon et l'altitude

- Poids du ballon et éolienne, connus

- Traînée sur le ballon et l'éolienne, calculables avec la géométrie du système et la vitesse du vent. Forces données par data_1.m

REMARQUE INITIALE :

Dans la plupart des calculs classiques de câbles, les points d'appui ou de fixation sont fixes et donc en général connaissant les charges extérieures, l'équilibrage est aisé, donnant les composantes des réactions.

Dans notre cas, la forme du câble va dépendre des forces en jeu, bien évidemment, mais les forces dépendent de la forme du câble à l'équilibre. 

Par exemple:

-  la poussée d'Archimède sur le ballon dépend de l'altitude H qui elle même dépend de la forme du câble. 

- la résultante des forces de traînée sur le câble, toujours dans le sens de la normale n au câble, dépend donc de la forme du câble qui conditionne aussi la distribution en altitude et donc la vitesse du vent par l'intermédiaire de son gradient.

Si l'on veut simplifier, notamment pour les calculs de RDM du câble, il faut adopter le pire cas, à savoir prendre la vitesse maximum du vent et choisir f = fmax, tout le long du câble. Le calcul de la résultante s'en trouve simplifié. C'est ce que nous ferons éventuellement.

Mais même dans ce cas, le résultat dépend de la position de B et donc du profil d'équilibre. Pa r exemple pour l'équilibrage, on ne pourra pas connaître la position de la résultante. Il manquera donc une équation d'équilibrage.

Le problème dans le cas général est dit " HYPERSTATIQUE" ce qui complique notablement la résolution exacte.

4°) Notations :

s l'abscisse curviligne le long de la courbe, variant de 0 à L

T la tension du câble au point d'abscisse curviligne s, c'est une inconnue principale du problème, pour la RDM, T0 en O et T1 sous le ballon

R le rayon de courbure, I le centre de courbure de la ligne moyenne du câble,

t et n les vecteurs tangent et normal à la ligne moyenne

q l'angle de la tangente t avec l'axe x

On isole un élément du câble de longueur ds, avec les forces élémentaires qui s'exercent sur lui.:

- le poids de densité linéique p, verticale descendante

- la traînée de densité linéique f, normale au câble

- les vecteurs tension du câble sur les 2 sections terminales 

Dans tous les cas, on traduit l'équilibre local de l'élément ds, par le principe de la statique

5° ) CALCUL EN PRESENCE D'UNE TRAÎNÉE SUR LE CÂBLE  :

Les ouvrages spécialisés indiquent que l'action du vent sur un câble est essentiellement normale au câble, donc portée par n.

Par projection sur les axes t et n, il vient les relations donnant T que nous complétons par les relations fournissant x et de la courbe du fil 

Signalons quelques relations concernant le rayon de courbure R et la courbe, pour un paramétrage quelconque de la courbe : 

B - PREMIER CALCUL CLASSIQUE EN L'ABSENCE DE TRAÎNÉE SUR LE CÂBLE  :

Cette étude devrait permettre de pré dimensionner le système, une simulation plus complexe permettra de traiter le cas général prenant en compte la traînée sur le câble.

a) Concernant la tension 

On projette l'équation vectorielle sur les axes x et y, ce qui donne ( la valeur de p est prise positive ).

Après intégration et traduction des conditions aux limites au point d'accrochage B sous le ballon, on a la solution pour la tension :

et les relations aux points limites:

RESULTAT 1 ( Maximum de la tension sous le seul effet du poids ): 

Le maximum ( c'était prévisible ) est atteint sous l'accrochage du ballon et vaut

On comprend donc intuitivement, que plus le ballon est puissant plus la tension du câble sera élevée, un arbitrage sera donc nécessaire pour choisir le câble et le ballon, la poussée d'Archimède sur le ballon fait croître la tension, donc la masse du câble, qui elle-même vient "contrer" cette poussée.

b) Concernant la forme du câble 

C'est un calcul classique dit de la "chaînette". Appelons x et y les coordonnées d'un point courant M du câble, et cherchons y(x). Notons que dans ce calcul R1x, R1y et p sont des constantes.

Classiquement avec l'aide des fonctions hyperboliques, il vient compte tenu de la condition aux limites en o.

Avec les conditions aux limites en B, on a aussi x = D et y' = tgq₁ on peut déduire

Une dernière intégration donne la forme de la courbe prise par le câble, moyennant toujours y(0)=0, pour l'accrochage au sol

La longueur du câble est capitale, puisque elle va donner le positionnement du système en altitude connaissant les forces en jeu sur lae mécanisme.

Adressons nous à la dérivée y'=sh K( x-l )

C) Concernant la longueur totale du câble déployé depuis le sol

M est la masse totale du système volant et pL celle du câble.  

 R1y = F - Mg  et  R1x = Tr  on doit avoir de plus   R1y = F - Mg > pL         R1 = T1           

La longueur L est liée à la position du système, horizontale D  ( abscisse de B ) et verticale H ( ordonnée de B ) par les relations qui suivent

c) Concernant la longueur du câble mesurée depuis le sol :

Essayons de calculer la longueur de câble uniquement en fonction du ballon ( R1x et R1y ) et de l'altitude de positionnement. Quand x=D, y = H, donc

Compte tenu du signe de K l, il vient grâce aux relations déjà vues par ailleurs

Relation importante qui permet de choisir la longueur de câble connaissant la vitesse du vent ( qui modifie R1x ) et l'altitude H de travail choisie pour l'éolienne

 C - QUELQUES RESULTATS DANS LE CAS SIMPLE SANS LA TRAÎNÉE DU CÂBLE :

On suppose donc f = 0 pour tout s.

Il reste à préciser les conditions initiales sur T et q, puisque pour x et y c'est clair. Pour y parvenir on traduit la "statique" du système en projection sur les axes x et y.

1°) Forces calculables connaissant H et Vair :

La force R1 ( qui se confond avec T1 ) en bout de câble B est accessible, connaissant H et Vair, puisque résultant de :

- Poussée d'Archimède sur le ballon, calculable par la géométrie du ballon et l'altitude

- Poids du ballon et éolienne, connus

- Traînée sur le ballon et l'éolienne, calculables avec la géométrie du système et la vitesse du vent.

2°) ÉQUILIBRAGE DU CÂBLE :

La somme des forces nulles donne :

Donc fournissant les conditions initiales sur T et q et avec la masse m du câble.

3°) Autres relations être utiles :

Comme les forces R1x et R1y sur le ballon, contrôlent tout le problème, on exprime quelques résultats en fonction de R1x et R1y. Le lecteur fera les calculs qui fournissent les principaux éléments H, D , L en fonction des performances du ballon.

UTILISATION I : On connaît le ballon ( R1x et R1y ), p et la longueur de câble L. On positionne alors le ballon :

UTILISATION II : On connaît le ballon ( R1x et R1y ), p et on se fixe l'altitude H de travail. On calcule alors la longueur de câble nécessaire puis  la position horizontale D

La fonction L = long(H,W) donne la longueur L pour positionner le ballon à l'altitude H moyennant un vent de vitesse W. Voir la fonction

UTILISATION III : On connaît le ballon ( R1x et R1y pour un vent de 15 m/s), ainsi que p.  On calcule alors l'altitude maximum Hmax du 'pire cas'.

Le pire cas correspond à un câble de longueur maximum Lmax=R1y/p avec un vent de vitesse W=30 m/s conduisant à une traînée R1x multipliée par 4. Donc :

UTILISATION IV : Si connaissant le ballon ( R1x et R1y ) ainsi que p, on veut directement l'expression de la position horizontale du câble, Le lecteur remplacera L par son expression, pour arriver à :

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