RESOLUTION DE L' ÉOLIENNE VOLANTE

RELIÉE AU SOL PAR UN CÂBLE

( CAS LE PLUS GÉNÉRAL )

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Revoir la mise en équations avant

A - RAPPELS DU SYSTÈME DIFFÉRENTIEL CANONIQUE:

Deux mises en équations ont été réalisées, l'une utilisant la variable x ( distance horizontale ) l'autre l'abscisse curviligne s. C'est cette dernière qui est privilégiée, car elle amène tout naturellement la longueur de câble L comme borne supérieure de l'intégration, donc comme arrêt logique.

1°) Notations : x et y sont les coordonnées cartésiennes ( horizontale & verticale ) du ballon en cours d'intégration

2°) Conditions initiales et paramètres :

x(0) = 0; y(0) = 0; y'(0)= tg(q₀) -->  q₀  et T0 apparaissent comme les 2 paramètres qui fixent complètement la position du ballon éolien.

B - L'ALGORITHME DE CALCUL:

Nous nous limitons, pour l'exemple à un ballon de basse altitude, avec hauteur et longueur de câble en dessous de 500 m.

NB : pour des applications de plus haute altitude, le problème nécessite peut-être alors de mieux modéliser la masse volumique de l'air en fonction de l'altitude.

1°) Position du problème :

Rappelons que c'est l'aspect mécanique qui est important.

Donc on se fixe un ballon, par ses caractéristiques géométriques, massiques et aérodynamiques, qui permettent de calculer, pour un vent donné de vitesse W, l'action du ballon sur le câble au point haut. R1x, R1y, qui ne dépendent que de la géométrie du ballon et due la vitesse W  du vent, sont donc connues et imposées, sans que le positionnement influe sur ces valeurs. La longueur L du câble est aussi  choisie. 

Il faut trouver le positionnement final qui en résulte, respectant les forces R1x, R1y caractéristiques du ballon.

La solution doit donner un résultat aussi proche que possible de ces valeurs prédéterminées.

a) Le programme data_1.m est chargé des calculs d'initialisation et donne en sortie, en fonction des dimensions et du vent notamment :

Les densités linéiques	p ( de pesanteur ) f* ( de traînée sur le câble )
Composantes de T1 = R1
L'équilibrage entraîne	R1y > pL  &  T0 cosq0  > R1x

b) Les paramètres  :

Nous devons jouer sur 2 paramètres q₀ et T₀. Le choix est multiple . Essayons d'en délimiter les extrêmes, pour éviter des temps de calcul prohibitifs. 

* Encadrement de q₀ :

- La pente en O, au sol, que ce soit avec ou sans traînée, est de toute évidence inférieure à celle en B, en l'air.

- La pente au sol, pour le cas avec traînée, est inférieure à celle du cas sans traînée. En effet les forces réparties de la traînée sur la câble, le tirent vers le sol, par la composante verticale et aussi par la composante horizontale, ce que confirme le calcul ci-dessous. 

NB : Cette condition l'emporte sur la précédente, car Z=R1y/R1x

- L'équilibrage sur l'horizontale donne une inégalité T0 cosq₀  > R1x, donc T0 > R1x et

Finalement l'intervalle de travail peut être défini comme  

Le basculement d'une valeur à l'autre intervient pour la valeur de T0 ci-dessous

* Encadrement de T0 :

Une évidence Hmax <= L, quand le câble du ballon est vertical, ce qui ne peut arriver que si le vent est de vitesse nulle.

De même, pour une longueur donnée du câble la hauteur du ballon soumis à une traînée, la hauteur H est évidemment inférieure à la hauteur calculée sans traînée, que nous appellerons H*, donnée dans un calcul antérieur par

On s'impose de travailler sur des ballons entre Hmin = 100 ( sinon l'intérêt du ballon est discutable ) et Hmax = L, avec une longueur de câble entre Lmin = 300 et Lmax = 500 m. La valeur de la première simulation sera L = 400 m.

Comme T0 = T1 - pH, en utilisant H* et Hmin, et compte tenu de Z=R1y/R1x & K=p/R1x, on a après quelques transformations, un autre encadrement de T0

c) Encadrements conservés :

Nous garderons donc les conditions restrictives ci-dessous, simplifiant les inégalités trouvées  :

2°) Méthode de recherche de la solution :

Dans tous les cas, un " double balayage " est obligatoire, plus ou moins long, car il y a 2 paramètres.

Le critère de choix du couple ( T0, q₀ ) meilleure solution est de retrouver sensiblement les valeurs R1x et R1y, donc de minimiser une erreur :

Il n'est peut-être pas très utile de rechercher une extrême précision, vu les caprices du vent. Nous prendrons donc une précision sur les efforts à 50 N près. En outre, la recherche d'une plus grande précision nécessite de resserrer la maille du balayage et donc augmente le temps de calcul.

NB : naturellement il est toujours possible de procéder en plusieurs étapes en  restreignant à chaque fois la maille et le domaine à balayer. Je ne l'ai point fait pour l'instant.

1 - Par un double balayage sur T0 et q₀?

Il faut donc 2 boucles imbriquées avec sortie quand le critère d'erreur est satisfait. Il semblerait que la méthode classique soit plus rapide.

1 - Sans balayer tous les cas? Méthode que je n'ai pas essayée.

Peut-être tenter la méthode dite de 'Monte Carlo' qui consiste à tirer au hasard les couples ( T0, q₀ )  T0 puis q₀ et conserver le tirage ( s'il se produit assez vite ) qui minimise au mieux un critère d'erreur à définir.

Donc le choix du couple sera basé sur des valeurs aléatoires, ci-dessous

NB  : rand(N) retourne N² valeurs entre 0 et 1

B - SIMULATIONS ET RESULTATS:

1°) Double balayage :

NB : La confirmation de la validité des programmes est acquise grâce aux cas particuliers traités analytiquement.

Données fournies par data_1.m avec choix du matériau, du coefficient de sécurité, de la présence ou non de la traînée.

Fonction G(Y,s) programmée par G_totale.m

Simulation utilisée dans les boucles ou les tirages   simeole.m

Programme à lancer eol_gen.m dans lequel on choisit une longueur de câble et la précision souhaitée ( possible ou pas )

Sorties des résultats par disp_gen.m  avec écriture dans un fichier texte eol_gen.txt du répertoire de travail

Le tout dans C:/@matlab/general,  pour le travail et l'écriture. Pour récupérer les fichiers

2°) Vérification des efforts de traînée sur le câble :

Ce calcul est réalisé dans eol_gen.m en utilisant une intégration étendue, avec la simulation simtrain.m

Elle donne le résultat suivant pour un vent de 15 m/s , une longueur L = 500 m, une altitude H 119 m, une distance horizontale D = 485.6 m= -->  Fx = 1.13 N et Fy = -4.6 N

En pratique, l'allure de la forme du câble montre une faible variation de la pente, on peut donc le considérer, en première approximation comme rectiligne, le calcul en est simplifié:

La norme de F est f* L sin²q =4.58 N   car sinq = 0.2325, les projections sur les axes donnent Fx=1.138 N et Fy = - 4.62 N, très près des valeurs exactes.

Conclusions:  la force de traînée sur le câble peut se calculer comme si elle était constante tout au long du câble et surtout on pourrait la négliger devant les forces agissant sur le ballon, car elles ne représentent que 4.6/2680 =0.15 % en vertical et 1.1/10600 = 0.0.1 % en horizontal.

Pourquoi la traînée est elle si faible? Tout simplement parce que le câble est couché vers l'horizontale et donc le vent n'a pas beaucoup de prise sur lui. 

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