ÉQUATIONS GÉNÉRALES D'UNE ÉOLIENNE VOLANTE

RELIÉE AU SOL PAR UN CÂBLE

***********************

Voir ensuite la résolution

***********************

A - GENERALITES :

1°) Notations :

2°) Figure support des calculs :

Figure1

Liaisons: R1 et R0 sont les actions de liaisons avec le sol ou la base du ballon. Ces 2 forces sont tangentes au câble en B et O. R est l'opposé de la tension du câble en O et R1 la tension du câble en B.

3° ) Les bases du calcul :

Le profil du câble sous l'action de R, R1, de la pesanteur et de la traînée est une courbe à déterminer en même temps que l'effort principal T appelée tension qui conditionne la résistance du câble.

Nous travaillons en statique, sachant très bien que dans la réalité le câble est soumis à des forces variables ( variabilité du vent ) et est donc à des déformations dynamiques dont l'étude dépasse le cadre de ce travail.

Forces calculables connaissant H et Vair :

La force R1 ( qui se confond avec T1 ) en bout de câble B est accessible, connaissant H et Vair, puisque résultant de :

- Poussée d'Archimède sur le ballon, calculable par la géométrie du ballon et l'altitude

- Poids du ballon et éolienne, connus

- Traînée sur le ballon et l'éolienne, calculables avec la géométrie du système et la vitesse du vent.

- Traînée sur le câble exprimable, voir note de calcul

REMARQUE INITIALE :

Dans la plupart des calculs classiques de câbles, les points d'appui ou de fixation sont fixes et donc en général connaissant les charges extérieures, l'équilibrage est aisé, donnant les composantes des réactions.

Dans notre cas, la forme du câble va dépendre des forces en jeu, bien évidemment, mais les forces dépendent aussi de la forme du câble à l'équilibre. 

Par exemple :

-  la poussée d'Archimède sur le ballon dépend de l'altitude H qui elle même dépend de la forme du câble. Mais pour une plage d'altitude peu étendue ( par exemple  100 à 500 m ) on peut considérer sans problème que la masse volumique de l'air est constante.

- De même pour la force de traînée sur le câble qui dépend de la vitesse du vent et l'angle du câble avec cette vitesse. Tout ce que l'on peut affirmer (avec une excellente approximation retenue dans tous les calculs de RDM ), c'est que cette force de densité linéique f est normale au câble.

NB : c'est le propre d'un problème hyperstatique, l'équilibrage du système ne permet pas de calculer les actions de liaison, puisque la forme du câble est inconnue et dépend de ces liaisons

4°) Notations :

s l'abscisse curviligne le long de la courbe, variant de 0 à L

T la tension du câble au point d'abscisse curviligne s, c'est une inconnue principale du problème, pour la RDM

R le rayon de courbure, I le centre de courbure de la ligne moyenne du câble,

t et n les vecteurs tangent et normal à la ligne moyenne

q l'angle de la tangente t avec l'axe x

On isole un élément du câble de longueur ds, avec les forces élémentaires qui s'exercent sur lui.:

- le poids de densité linéique p, verticale descendante

- la traînée de densité linéique f, normale au câble

- les vecteurs tension du câble sur les 2 sections terminales 

Dans tous les cas, on traduit l'équilibre par le principe de la statique. Ce qui donne sur les axes t et  :

B - CALCULS GENERAUX :

L'équation vectorielle peut se projeter soit sue les axes x et y soit sur les axes locaux, t et n respectivement et normal ay câble ( Si R est le rayon de courbure, le centre de courbure est I tel que IM = R n. Nous privilégions les axes t et n.

1°) Équations scalaires en projection sur t et n :

Les ouvrages spécialisés indiquent que l'action du vent sur un câble est essentiellement normale au câble, donc portée par n.

Par projection sur les axes t et n, il vient les relations donnant T que nous complétons par les relations fournissant x et de la courbe du fil 

Signalons quelques relations concernant le rayon de courbure R et la courbe, pour un paramétrage quelconque de la courbe : 

2°) Une relation simple pour commencer :

Dans tous les cas de figure, les équations (2) et (3) donnent par division de (3) par (2) une relation très importante; utilisable pour tous les câbles de section constante (^pour garantir p constant )

3°) Équation différentielle du profil du câble :

L'équations (4) reliée à la relation donnant le rayon de courbure, fournit, dans le cas de la représentation y=y(x)

Après transformations, on aboutit à l'équation différentielle du second ordre donnant y(x)

REMARQUE : Cette équation servira de base à l'étude de 2 cas particulier.

Cas 1 : Celui sans traînée ( la fameuse chaînette ) donc f* = 0 ce qui donne l'équation simple, intégrable que l'on retrouvera par ailleurs

avec conditions initiales

Remarque intéressante :

L'équation différentielle ci-dessus, peut s'interpréter, d'abord au point courant ( y, y' = tgq, q ) puis en B ( H, y'_(B) =tgq₁, q₁ ) par:

NB : Ceci signifie que si on se donne le ballon ( R1x et R1y ) le câble (p) et l'altitude de positionnement H ( H < T1/p ), on connaît T0 et q₀ et la longueur L de câble nécessaire.

Exemple : H=88.6 m, p=3.636 N/m, R1x=10599 N, R1y=2680 N 

Alors T1=10921 N,  T0 = T1-p*H =10601 N    cosq1 =R1x/T1 =0.9694   cosq0 = cosq1 *(pH/T0+1) =0.9989

sinq0 = 0.0469  L= (R1y-T0sinq0 )/p =600 m   excellemment vérifié par ailleurs.

Une simulation ( avec @matlab/sim_cas1 qui réalise initialisation+simulation(@matlab/ sim_eole.m)+courbe du résultat ) du cas particulier f*=0, cas qui confirme des calculs précédents, avec un câble de 600 m

Cas 2 : Calcul du cas où la traînée est prise à sa valeur maximale partout sur le câble donc f  = f* = cste. Le lecteur fera le calcul qui conduit après intégration et traduction des conditions initiales, comme ci-dessus:

Équation qui sera traitée à part.

C - MISES EN FORME DE L'ALGORITHME D'INTEGRATION :

Reprenons l'équation (E) avec ses conditions initiales. De toute évidence, ce qui nous intéresse c'est surtout l'aspect mécanique plus que la forme du câble que l'on anticipe fort bien, dans le genre voisin d'une chaînette.

y(x) donne l'altitude H(x), x donne la distance sol D(x) = x, la longueur L nous intéresse , elle se calcule par 

1°) Variables d'état Y fonction de x:

On introduit un vecteur Y(x) dans R³ fonction de la distance horizontale x,  en posant 

2°)  Variables d'état Y fonction de s:

Il est peut-être plus naturel, de choisir comme variable d'intégration s abscisse curviligne sur le câble, car elle fournit un test d'arrêt naturel d'une simulation, quand s atteint la longueur L du câble.

Il suffit de noter que  

On introduit un vecteur Y(s) dans R³ fonction de l'abscisse curviligne s

L'équation vectorielle de base, pour l'intégration devient ( en enlevant celle de L puisque c'est la variable d'intégration )

Nos inconnues sont les coordonnées du ballon y(s) en vertical et x(s) en horizontal. 

2°) Recherche de la solution mécanique :

Rappelons que c'est l'aspect mécanique qui est important.

Donc on se fixe un ballon, par ses caractéristiques géométriques, massiques et aérodynamiques, qui permettent de calculer, pour un vent donné de vitesse W, l'action du ballon sur le câble au point haut. 

Le programme data_1.m est chargé de ces calculs et donne en sortie, notamment :

Les densités linéiques	p , f*
Composantes de T1 = R1

a) Condition à atteindre :

R1x, R1y, qui ne dépendent que de la géométrie du ballon et de la vitesse W du vent, sont donc connues et imposées, sans que le positionnement influe sur ces valeurs. La longueur L du câble est choisie. De toute évidence, il faut que le ballon puisse au moins soutenir le poids du câble, donc 

Il faut trouver le positionnement qui en résulte, positionnement qui dépend de 2 paramètres T0 et q₀.

La solution doit donner un résultat aussi proche que possible des valeurs prédéterminées et choisies. Un double balayage s'impose donc.   .

D - CALCUL SPÉCIFIQUE DE LA FORCE RÉSULTANTE DE TRAÎNÉE SUR LE CÂBLE :

1°) Calculs :

Comme nous ferons une intégration le long de la courbe, avec l'abscisse curviligne s, nous cherchons les expressions en fonction de s, compte tenu de.

Il vient :

Enfin la résultante a pour composantes sur les axes x et y :

Pour calculer ces 2 valeurs, nous complétons la simulation simeole.m, en y ajoutant 2 variables de plus, les dérivées de Fx et de Fy.

La nouvelle simulation s'appellera simtrain.m avec une fonction nouvelle G_train.m. L'ensemble est lancé par gen_eole.m dans l'espace Matlab. L'initialisation demande data_1.m

d

*********************************************************************************

Note de calcul sur la traînée du câble

La littérature donne pour un cylindre un coefficient à peu près double de celui de la sphère. Nous adoptons donc un Cx de 1 pour les vitesses de vent faibles.

Le cylindre a pour section S et rayon r

La traînée sur un élément de longueur ds, est portée par n et se calcule avec la composante de vent sur la normale n, donc

Note de calcul sur la dérivée seconde :

Finalement

Autre calcul plus direct :

Compte tenu des relations

Il vient

**************  Fin de page  *******************