ÉOLIENNE A CÂBLE ISO CONTRAINTE
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Les développements précédents sur le calcul du câble ont montré que lorsque les caractéristiques du ballon et la vitesse du vent W sont fixées
avec R1x force horizontale de traînée au sens large, R1y force verticale de portance au sens large connues
l'altitude de travail dépendait de la masse du câble et de sa longueur et réciproquement.
Pour des éoliennes de basse altitude inférieure à 500 m, le câble de section constante calculé aux charges extrêmes, avec un coefficient de sécurité adapté, convient très bien.
Pour celles des éoliennes du futur, travaillant nettement plus haut, se pose alors la question du poids du câble. En effet la partie haute est plus sollicitée que la partie basse et donc la partie basse est surdimensionnée. D'où l'idée, peut-être inutile, de calculer un câble à contrainte constante, prise à sa valeur de sécurité.
Dans ces conditions, la section du câble est évolutive, croissant en fonction de l'abscisse curviligne, du sol vers l'altitude de travail. Chaque section est sollicitée de la même façon.
1°) Équations générales :
Comme pour les autres études, équilibrons un élément de câble de longueur ds
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Seule différence avec des calculs antérieurs, nous supposons que la contrainte de traction sur une section quelconque est constante et vaut s . Rappelons que si w désigne la masse volumique du matériau du câble :
L'inconnue est maintenant la section du câble S fonction de s.
Il semble évident qu'en présence d'une traînée, le problème parait insoluble "à la main"
2°) Équations du problème du pire cas sans traînée sur le câble : Alors f=0.
NB : On notera alors que l'équation vectorielle initiale donne en projection sur l'axe x : Tcosq = Cste et comme s est constante , T = s S :
S cosq = S0 cosq0 = S1 cosq1
Nous calculons le profil évolutif du câble pour le pire cas de vent ( Vitesse doublée 15 m/s --> 30 m:S ). Ensuite dans un deuxième temps, nous gardons ce câble et nous calculons le positionnement du ballon pour tout autre cas de vent.
(3) divisée par (2) et (4) divisée par (2) (1) divisée par (2) donnent, après transformations simples :
(7) et (8) donnent S et q fonctions de y, (5) donnera la distance horizontale et (6) la longueur de câble.
Conditions aux limites : elles sont obtenues sous le ballon à l'altitude H.
On n'oubliera pas que la résistance du câble est calculé pour le pire cas, donc avec une traînée multipliée par 4 ( carré de la vitesse doublée ) et R1y inchangée.
La tension s'appelle T1_max et donc S1(y=H)=T1_max/s.
1°) Evolution de la section S ( résistance pour le pire cas ):
Le lecteur fera les calculs simples qui conduisent à S :
2°) Evolution de l'angle q
Utilisant S cosq = S0 cosq0 = S1 cosq1 on a
Restriction importante :
Le calcul n'a de sens que si on sait calculer l'angle q0 donc, connaissant H.
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Exprimé en fonction des caractéristiques du ballon, on a pour le "pire cas", la valeur extrême
Comme R1y/R1xmax est petit devant 1, on a une bonne approximation
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Exemple : R1x_max=16413 N, R1y=2680 N conduirait à Hmax = 60 m, ce qui signifie qu'avec un vent de 30 m/s le ballon que nous prenons comme exemple, depuis le début, ne dépasserait pas 60 m d'altitude lors d'un rapatriement forcé. Un seul avantage à basse altitude le vent y est moins fort. Ce qui ne l'empêchera pas de travailler, pour des vents plus faibles, à des altitudes plus hautes. Il faudrait alors surveiller le fonctionnement en continu.
Les équation (6) et (8), privilégiant la variable q plutôt que y donnent par division :
Intégrale classique à calculer avec le changement de variable t = tg(q/2), puis quelques transformations trigonométriques classiques, qui donnent une formule permettant le calcul de l'abscisse curviligne fonction de la pente q puis de la longueur L du câble.
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Exemple 1 : Câble acier, sécurité k = 2, vent W = 15 m/s R1x=10588 N, R1y=2680 N & déjà calculée Hmax = 60 m pour le pire cas et pour le cas actuel 142 m
Si on se fixe H=107 m comme altitude de travail, on calcule :
- q1 = Arctg(R1y/R1x) = 0.248 rd b = 1/coeff = 2.186 e-4
- q0 = Arccos(cos(0.248)*exp( 2.186 e-4*90)) =0.1507
- L = 1/2/2.186e-4* tg(p/4 +0.248)/tg(p/4 +0.1507) =578.8 m
- S0 = 4.64 e-5 m² = 46.4 mm² S1 = 4.75 e-5 m² = 47.5 mm²
Le calcul avec un câble classique aurait donné L = 632.8 m et une masse 234.5 kg. Avec un câble iso contrainte la longueur est de 289.2 m, soit un gain de 10 % en longueur qui se retrouve sur la masse de 211.7 kg 10% plus petite aussi.
Conclusion : les valeurs très voisines des sections terminales et initiales, S0 = 46.4 mm² et S1 = 47.53 mm² dissuadent de tenter de réaliser un usinage particulier du câble, du moins pour les basses altitudes. Une étude plus poussée est peut être nécessaire pour de grandes longueurs.
NB : Tous ces calculs ont été réalisés avec @matlab/ iso_cont.m et confirmés par @matlab/iso_mass.m
Le lecteur affinera le calcul avec la section S variable
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et pour conclure, après simplifications, dont je laisse le soin au lecteur, on obtient une formule ne faisant apparaître que le ballon et sa position :
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NB : les calculs de longueur de câble, d'altitude maximum et de masse du câble, pour le ' pire cas ' sont aussi réalisés par le programme iso_mass.m où la variable d'entrée est double ( H, choix ) H est l'altitude souhaitée de positionnement et choix =1 ou 2 suivant carbone ou acier. Les résultats sont confirmés.
Ce programme écrit les sorties dans iso_mass.txt
L'étude du câble iso contrainte, certes intéressante, montre naturellement un gain de masse sur le câble, mais dans une proportion de 10 % qui devrait dissuader de réaliser un câble à section variable.
Nous adoptons définitivement un câble de section constante, celle calculée sous le ballon, dans les conditions extrêmes du "pire cas".
Peut-être pour de très grandes longueurs pourra-t-on utiliser des sections constantes par morceaux? Étude à faire!!
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