CALCULS DE LA CONFIGURATION

CÂBLE SANS TRAÎNÉE

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Le bon sens le plus élémentaire nous permet de dire que pour une vitesse de vent W donnée, si on se fixe :

    - La longueur du câble ( même non correctement dimensionné en section ) et son matériau

    - Les caractéristiques du ballon ( masse, force sustentatrice et traînée )

quelqu'un qui "tiendrait le ballon du sol" après quelques oscillations pour le stabiliser dans le vent, trouvera une position d'équilibre unique.

A - RAPPELS :

Ci-dessous la figure montrant la tension T au point courant et ses valeurs aux extrémités T1 en B sous l'éolienne et To en O au point d'accrochage au sol.

- ds est l'élément différentiel de longueur sur la courbe, dx et dy ses composantes sur les axes, q l'angle de la tangente ( ou de T ) avec l'axe x. 

- H et D positionnent l'éolienne dans le plan vertical.

Rappelons que dans le cas simple où le câble n'est pas soumis à la traînée due au vent, nous avons établi que

B - CALCULS MECANIQUES :

L'équation (3) est particulièrement intéressante, puisqu'elle donne la tension T au point courant du câble. Son intégration donne une relation exploitable pour les forces en O et B.

Multipliant les 2 membres de (3) par ds et utilisant (2), il vient après intégration simple:

D'où une relation capitale, avec des notations évidentes, pour s = L en bout de câble :

1°) Détail des efforts en jeu :

Le vent est supposé horizontal de vitesse W.

a) Sur le ballon :

F_B est la poussée d'Archimède, verticale

Mg est le poids sur tout l'équipage du ballon ( enveloppe du ballon, hélium, nacelle et hélice de l'éolienne )

F_T est la force transversale ( ou horizontale ) comprenant la traînée et la force de traction crée par le vent avec la rotation des pales de l'hélice.

En B on note R1 la force nette exercée par le ballon sur le câble.

Cette force est calculable ( peut-être pas simplement ) par un aérodynamicien. Elle dépend de nombreux facteurs comme par exemple:

- la vitesse W du vent

- l'altitude éventuellement si le ballon est utilisé en très haute altitude

-  la forme et le volume du ballon, les caractéristiques de surface du ballon

- la technologie et le rendement de l'éolienne, car plus il y a d'énergie cinétique récupérée sur le vent, transformée en électricité, moins il y aura de force de traînée due à l'hélice.

Dans toute la suite R1x et R1y seront les composantes connues de cette force en B.

b) Sur le câble :

NB : on peut se débarrasser facilement du problème posé par le dimensionnement du câble, en optant pour un calcul unique, associé au pire cas, à savoir que la traînée est prise pour la vitesse de vent Wmax ( de sécurité ) qui déclenchera le retour  au sol du ballon, lors d'une tempête. 

Nous avons supposé que le câble ne supportait que sa densité linéique constante de poids, notée p.

NB : On pourrait, pour alléger le câble et optimiser le calcul, calculer un câble sous contrainte constante. C'est à dire que la section varierait en fonction de l'abscisse curviligne, avec un minimum en O au sol et un maximum sous le ballon.

 L'effort sur le câble est T1 = R1, la contrainte admissible ( coefficient de sécurité compris ) est s _max , la masse volumique du matériau est  w, la section du câble S.

C - EXPLOITATION DES RESULTATS :

1°) Variables Z et L 

Nous allons essayer de balayer l'ensemble des possibilités en jouant sur 2 paramètres Z et L :

F est la poussée d'Archimède et M la masse du système sustentateur, comprenant la masse de l'enveloppe, l'hélium et l'éolienne, mais pas le câble

L  la longueur du câble, dimensionné en résistance, pour le pire cas (vent maximum)  sous la contrainte admissible s max pour une masse volumique du matériau notée w.

Z concerne le ballon porteur, essentiellement l'aspect aérodynamique et sustentateur et L et p participent au positionnement de l'éolienne.

Z apparaît comme une finesse efficace ( pour la vitesse de vent du moment ), puisque rapport de la force de sustentation(analogue de portance) et de la force transversale comme traînée généralisée.

2°) Constantes K et l

On rappelle les 2 constantes importantes, déjà rencontrées par ailleurs, K ( en m^-1 )  et l ( en m ) .

NB : On notera que F-Mg > pL  implique Z > KL . Ce qui entraîne une constante l nécessairement toujours négative, mais aussi une évidence sur le câble.

3°) Positionnement du ballon:

Donné par les coordonnées D ( horizontale ) et une autre expression de H ( verticale )

D peut s'écrire en fonction uniquement du ballon, p et H

4°) Confirmation de la longueur du câble:

La formule 

et finalement uniquement en fonction du ballon de p et de H

relation qui peut servir de confirmation en fin de calcul.

C - EXPRESSION DE L'ALTITUDE :

Les relations avec les fonctions hyperboliques, peuvent se manipuler à loisir, pour obtenir par exemple la hauteur atteinte par le ballon, moyennant la connaissance des forces et la longueur du câble. Le lecteur fera le calcul.

ou encore

Ou aussi avec les seules forces en jeu et la longueur de câble:

Ceci devrait faciliter l'étude de H en fonction soit de L soit des qualités aérodynamiques du ballon ou de la vitesse du vent.

Dans tous les cas, nous devrons avoir à respecter deux inégalités 

APPLICATION PRATIQUE : smax (carbone, sécurité 3 ) = 2.33 10⁸ Pa, pour une longueur de câble L=500 m, trouver l'altitude H?

data_1 donne Lmax = 6572 m  p = 0.6118 N/m  R1x = 10588 N , R1y=2680 N  avec L = 500 m   H= 116 m

Avec une sécurité moindre k = 2, on aurait trouvé H= 120.5 m

D - VALEURS MAXIMALES POUR UN BALLON DONNE:

Fixons nous les données ballon ( R1x, R1y) pour un vent normal de vitesse W . Les calculs de résistance, au pire cas, se font avec un vent de vitesse 2W conduisant à une augmentation de la traînée sur le ballon.

Ceci fixe donc :

- la "finesse efficace " Z = R1y/R1x à la valeur Zmax = R1y/R1x_max. atteinte dans les conditions limites de vent.

- la valeur de p calculée pour le "pire cas" et donc aussi la masse du câble, couramment utilisée pour tous les autres cas de vol:

- la longueur maximale de câble Lmax pour le vent donné.

Calcul approché :

La réalité physique montre que Zmax est petit ( Zmax=2680/16410=0.1633, 1/Z²max=37.5>>1, donc grand devant 1, un DL donne

- la masse du câble pour la longueur L, pour le vent donné

NB : Bien évidemment on retrouve que pour L= Lmax, la masse du câble est juste équilibrée par R1y.

- l'altitude maximale possible atteinte, pour un ballon donné et le vent donné est:

E - SIMULATIONS SOUS MATLAB : 

1°) Etude de H fonction de L:  Résultats du programme altitud1.m, initialisable dans data_1, pour l'acier ou le carbone, avec un coefficient de sécurité 2 ou 3

La contrainte admissible en traction s_max et la masse volumique w sont fixées, pour le matériau du câble. Pour un vent de 15 m/s, R1x=10588 N.

 La performance du ballon se juge par sa finesse efficace Z= R1y/R1x . C'est elle que nous faisons varier pour 3 cas Z=0.25 ( le ballon référence ), Z = 0.35 puis Z = 0.5

En pratique, en gardant la même géométrie du ballon, si on augmente les dimensions d'un facteur k, volume et masses augmentent comme k³ et la surface comme k² et donc Z augmente comme k.

Graphique pour les altitudes basses

Graphique pour les altitudes hautes

2°) Influence du vent sur H pour L fixée:  Résultats du programme altitud2.m

Le vent joue essentiellement sur la traînée, si la vitesse du vent double la traînée est presque multipliée par 4

Le ballon reste inchangé, ainsi que les caractéristiques mécaniques du câble, seule la force de traînée est différente. Nous gardons donc le ballon où R1x=10588 N, R1x = 2680 N pour un vent de W = 15 m/s. Nous faisons varier la vitesse du vent de 0 à 30 m/s et avec une longueur de câble L = 10% à 40% de Lmax=6572 m.

NB : Il saute aux yeux que le ballon se "couche" sur le sol lorsque la vitesse du vent augmente, se retrouvant à moins de 300 m du sol.

3°) Allure du câble:  Quelques résultats du programme @matlab/altitud3.m (choix de L ) et paramétrage général, pour le matériau et le coefficient de sécurité par @matlab/data_1.m

Nous prenons le ballon nominal accepte une longueur maxi 737 m m, utilisé avec une longueur de câble de L =600 m,  avec un vent moyen à W=20 m/s , câble acier et coefficient de sécurité 2 correspondant donc à :

 K =2.24 e-4 m-1        l = -137.2    x varie de 0 à D = 596 m

NB : Ci-dessous, avec un câble carbone de longueur 700 m, notre ballon  ressemble beaucoup à celui de Airbone Wind Turbine, imaginée par des chercheurs du MIT et de Harvard, à 2 turbines. Un article indiquait qu'il avait été monté vers 107 m d'altitude, un peu comme le notre à 107,8 m du sol. On notera que la légèreté du câble donne un profil quasiment linéaire, ce qui n'est pas le cas d'un câble acier.

Citation d'un article :Le prototype mesure 11 mètres d’envergure. Le ballon est gonflé à l’hélium, un gaz bien plus léger que l’air et ininflammable, contrairement à l’hydrogène. Les longes le maintenant à sa station d’accueil lui permettent de transférer au sol l’électricité produite par l’éolienne SouthwestSkystream. Durant le test réalisé le 27 mars 2012, l’AWT est monté à 107 mètres d'altitude, mais ses concepteurs prévoient de l'installer à 300 mètres, affirmant qu'il produira alors deux fois plus de courant qu'une éolienne classique.

F - FORMULES APPROCHEES : 

1°) Remarques initiales :

L'ensemble des recherches et simulations a montré que, la forme du câble est d'autant plus rectiligne que le vent souffle fort et que la matériau du câble est léger . Dans ces conditions, une approche physique simplifiée est possible, qui donne des relations pratiques et simples.

Surtout, sauf erreur ou mauvaise estimation de la traînée sur le câble, on montre qu'elle est quasiment négligeable.

Une étude de câble iso contrainte montre que le gain de masse est très faible et donc que l'usinage d'un câble à sections évolutives est complexe et inutile.

2°) Approche simplifiée :

Tout d'abord, une relation exacte pour tous les cas:

Notamment, nous n'avons jamais traduit l'équilibre des moments sur le câble, car la ligne d'action exacte de la pesanteur était inconnue. Avec une densité linéique p  constante, on peut avec une très bonne approximation, supposer que la ligne d'action verticale coupe l'horizontale à une distance D/2 de O. 

Traduisons le moment des forces en O, nul à l'équilibre :

ce qui donne une expression approchée de D

On peut compléter par le théorème de Pythagore 

Pour terminer, on peut compléter par 3 relations (exactes sans traînée et approchées avec traînée )

Exemple numérique : Ballon fournissant R1x=10599 N    R1y = 2680 N  vitesse de vent W = 15 m/s

Câble acier - Coefficient de sécurité 2 - Longueur de câble L=600 m  - p = 3.636 N/m - Altitude de travail, calculée exacte H=88.2 m

Résultats :

D²=L²-H² donne D = 593.5 m   au lieu de la valeur exacte 592.5 m  soit 3 m sur presque 600 m, environ 0.5 % d'erreur !!!

T1=10921 N et H=88.2 m donnent T0=10601 N  sin(q0) donne  q0 = 0.047 rd = 2°.7

3°) Position du pire cas de vent W=30 m/s

L'altitude maximum que pourrait atteindre le ballon est approximativement

pour une longueur de corde maximale L = R1y/p

Pour ce qui de la sécurité par rapport au sol, lorsque le rapatriement est nécessaire ( W>30 m/s ), le ballon doit être au dessus d'une altitude Hs. Alors ses caractéristiques aérodynamiques doivent vérifier ( voir calcul )

La longueur maximale de câble est approximativement

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